Home / Matematika / Barisan Aritmatika

Barisan Aritmatika

  • 10 min read
Loading...

Disusun oleh : M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019

Pernahkah kamu memperhatikan susunan kursi di suatu teater ataupun pertunjukan? Biasanya semakin kebelakang banyak kursi disetiap baris akan bertambah menjadi lebih banyak dibanding dengan banyak kursi di baris sebelumnya.

Selain itu, jika kamu mengetahui bahwa selisih banyaknya kursi disetiap baris adalah tetap dan kamu juga mengetahui banyaknya kursi di baris yang pertama, dapatkah kamu menentukan banyaknya kursi di barisan ke-13? Atau, dapatkah kamu menentukan jumlah semua kursi mulai dari baris pertama hingga kesepuluh? Atau bahkan dapatkah kamu menentukan jumlah total semua kursi dari baris pertama hingga terakhir, tanpa menghitungnya satu persatu? Hal tersebut merupakan salah satu contoh interpretasi nyata dari barisan aritmatika. Namun, apa itu barisan aritmatika?

Sebelum mengenal lebih jauh tentang barisan aritmatika, ada baiknya bagi kita untuk terlebih dulu mengenal apa itu barisan.

Pengertian Barisan

Barisan bilangan real adalah urutan bilangan-bilangan real yang didefinisikan oleh suatu fungsi dengan domain di bilangan asli”

Atau,

Loading...
dalam bentuk notasi matematika,

barisan notasi matematika

xn adalah fungsi yang menyatakan barisan tersebut, dan n adalah himpunan bilangan asli {1, 2, 3, …}. Berikut adalah beberapa contoh barisan bilangan real.

contoh barisan bilangan real

Dari keempat contoh barisan diatas, manakah yang merupakan barisan aritmatika? Seperti yang telah diterangkan di bagian pengantar, contoh barisan aritmatika ditunjukkan oleh barisan pertama, yaitu {5, 7, 9, 11, …} karena setiap diantara dua suku memiliki selisih yang sama, yaitu 2. Jadi, secara ringkas, kita nyatakan secara formal bahwa

Konsep Awal Barisan Aritmatika

“Barisan aritmatika adalah barisan bilangan real dengan selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama”

Selanjutnya, kita simpulkan juga bahwa ketiga contoh barisan berikutnya bukan merupakan barisan aritmatika.

Selain dinyatakan sebagai fungsi eksplisit, barisan aritmatika dapat juga di nyatakan dalam bentuk rekursif. Bentuk rekursif adalah bentuk penyajian fungsi dimana suku yang satu memengaruhi nilai dari suku setelahnya. Contoh, jika barisan aritmatika diatas kita nyatakan dalam bentuk rekursif, maka akan berbentuk seperti berikut.

notasi barisan aritmatika

Namun, penyajian barisan dalam bentuk rekursif jarang digunakan dalam jenjang sekolah menengah. Selanjutnya, kita hanya akan fokus pada penyajian dalam bentuk eksplisit.

Penurunan Rumus Barisan Aritmatika

Komponen utama dalam barisan aritmatika adalah sebagai berikut:

  1. Suku pertama
  2. Beda/selisih
  3. Fungsi suku ke-n

Tetapi, fungsi suku ke-n dapat ditentukan jika kita mengetahui dua komponen sebelumnya. Selanjutnya, kita akan menurunkan rumus untuk barisan aritmatika jika diketahui suku pertama dan beda antar sukunya. Misalkan suku pertama barisan adalah a, dengan beda tetap antar suku adalah b, maka barisan tersebut dinyatakan oleh fungsi Un,

1

Jadi, rumus suku ke-n untuk suatu barisan aritmatika dengan suku pertama a dan beda b, adalah

rumus suku n

Sebagai contoh, jika kita ingin menentukan suatu rumus dari barisan aritmetika dengan suku pertama 4, dan selisih atau beda antar suku 7, maka proses untuk mencari rumus Un adalah sebagai berikut

2

Sehingga rumus Un yang diinginkan adalah Un = 7n – 3 Adapun 10 suku pertama barisan tersebut adalah

4, 11, 18, 25, 32, 39, 46, 53, 60, 67, ….

Sebenarnya, rumus Un diatas bisa di susun ulang sehingga memudahkan kita untuk mencari rumus Un, ditunjukkan seperti berikut

3

Dua rumus yang ada di dalam kotak adalah rumus yang identik dan seharusnya tidak menimbulkan kebingungan bagi para pembaca. Selain menentukan bilangan pada suku ke-n, rumus tersebut juga dapat digunakan untuk mencari suku awal, beda, maupun nilai n, tergantung dengan apa saja komponen yang diketahui dan ditanya. Sebagai contoh, misal diberikan suatu fungsi barisan aritmatika Un = 15n – 11, maka tentukan nilai n sedemikian hingga Un = 94. Dengan mensubstitusikan Un = 94 kedalam rumus Un, maka

4

Jadi, nilai n = 7.

Suku Tengah Suatu Barisan

Jika n bilangan ganjil, maka kita bisa menentukan suku tengah dari barisan tersebut, jika diketahui nilai suku awal dan suku akhir, maka suku tengah barisah tersebut ditentukan oleh rumus:

Suku Tengah Suatu Barisan
Suku Tengah Suatu Barisan 1

Dimana t adalah urutan ditengah dari barisan, Ut adalah suku tengah dari barisan, sedangkan U1 dan Un masing-masing merupakan suku awal dan suku terakhir dari barisan tersebut.

Meyelipkan Suku-Suku Baru Diantara 2 Suku Barisan

Selanjutnya, jika kita ingin menyelipkan beberapa suku baru diantara suku-suku barisan yang lama, maka akan dihasilkan barisan baru dengan selisih antar suku yang berbeda pula. Misalkan kita ingin menyelipkan sebanyak k suku baru, dengan beda barisan yang lama adalah b, dan beda barisan yang baru adalah b’, maka hubungan beda barisan yang baru dan lama adalah

5

Dan rumus untuk barisan yang baru adalah

6

Penerapannya adalah sebagai berikut, misalkan kita memiliki barisan aritmatika

2, 11, 20, 29, 38, 47, 56, …

Yang dinyatakan oleh rumus Un = 9n – 7, dan beda antar suku b = 9, dan kita ingin menyelipkan dua suku baru diantara setiap suku, atau k = 2, maka beda suku dan rumus barisan yang baru adalah sebagai berikut

7

Akibatnya, rumus Un yang baru adalah Un = 3n – 1, dan barisan yang baru ditunjukkan oleh sebagai berikut. (Suku dengan warna merah adalah suku-suku yang baru ditambahkan)

2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 44, 47, 50, 53, 56, …

Barisan Aritmatika Naik dan Turun

Nilai b atau beda (selisih) antar suku di suatu barisan aritmetika menentukan apakah barisan tersebut termasuk barisan menaik ataupun menurun. Barisan menaik adalah barisan yang suku-sukunya senantiasa menaik, atau menjadi lebih besar seiring dengan semakin jauhnya nilai n. Sebaliknya, barisan menurun adalah barisan yang suku-sukunya senantiasa menurun, atau menjadi lebih kecil seiring dengan semakin jauhnya nilai n.

Barisan aritmatika menaik terjadi jika nilai b > 0, sebaliknya, barisan aritmatika menurun terjadi jika b < 0. Jika b = 0, maka akan tercipta suatu barisan konstanta, yaitu barisan yang hanya mengandung angka yang sama (a, a, a, a, a, …). Contoh-contoh yang diberikan pada sub-sub materi sebelumnya adalah barisan menaik, karena suku-sukunya semakin menjadi besar jika nilai n juga semakin besar. Berikut ini kami berikan contoh barisan aritmatika menurun, dengan b = -4, dan a = 13

13, 9, 5, 1, -3, -7, -11, -15, -19, -23,…

Tidak ada perbedaan dalam hal rumus antara barisan aritmatika menaik dan barisan aritmatika menurun.

Loading...

Contoh Soal Latihan

  1. Diketahui suatu barisan aritmetika dengan suku ke-10 adalah 30 dan suku ke-17 adalah 72. Tentukan beda dari barisan aritmetika tersebut.

(Soal Pribadi Penulis)

Jawab:

Perhatikan bahwa

7

Jadi, beda barisan adalah 6.

2. Diketahui barisan aritmetika dengan U2 + U15 + U40 = 165, maka U19 = ?

(UN Matematika SMA Tahun 2010 P37)

  1. 10 B. 19 C. 28,5 D. 55 E. 82,5

Jawab:

Dengan menjabarkan U2 + U15 + U40 = 165, kita peroleh

8

Jadi, U19 = 55

3. Suku keempat dan kesembilan suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku ketigapuluh barisan aritmatika tersebut adalah?

(UN Matematika SMA Tahun 2011 Paket 12)

  1. 308 B. 318 C. 326 D. 344 E. 354

Jawab

Dengan mengeliminasi kedua suku yang diberikan

10
11

Dengan demikian, a = 86 dan b = 8, sehingga

12

4. Diketahui suatu barisan Aritmatika dengan U3 + U9 + U11 = 75. Suku tengah barisan tersebut adalah 68 dan banyak sukunya adalah 43, maka U43 = ?

(UN Matematika SMA Tahun 2009 P12)

  1. 218 B. 208 C. 134 D. 132 E. 131

Jawab:

Dengan menguraikan U3 + U9 + U11 = 75, maka

13

Karena ada 43 suku, maka suku yang di tengah merupakan suku ke

15

Sehingga

16

Dengan mengeliminasi persamaan pertama dan kedua, kita peroleh

17
18

Jadi, a = 5, dan b = 3, sehingga

19

5. Diketahui suatu barisan aritmatika sebagai berikut….

5, 17, 29, 41, 53, 65, 77, 89, 101, …

Akan diselipkan tiga suku baru di antara masing-masing suku di barisan tersebut. Tentukanlah selisih antara suku ke-100 dari barisan yang lama dengan suku 100 dari barisan yang baru tersebut.

(Soal Pribadi Penulis)

Jawab:

Barisan tersebut memiliki nilai a = 5, dan b = 17 – 5 = 12, sehingga rumus untuk barisan aritmatika tersebut adalah

20

Dan suku ke-100 nya adalah

22

Dari barisan aritmatika yang diberikan, kita peroleh beda dari masing-masing suku adalah b = 12. Karena akan diselipkan tiga suku baru, artinya k = 3, sehingga beda dari barisan yang baru adalah

23

Rumus suku ke-n untuk barisan yang baru ditunjukkan oleh

24

Akibatnya suku ke-100 dari barisan yang baru adalah

25

Jadi, selisih antara suku ke-100 dari masing-masing barisan adalah

26

Daftar Pustaka

  • Manullang, Sudianto, dkk. 2017. Matematika: SMA kelas XI. Jakarta: Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.
  • Varberg, dkk. 2007. Calculus 9th Edition. Southern Illinois: Pearson Education Inc.

Baca juga

Loading...