Home / Matematika / Operasi Bilangan Berpangkat

Operasi Bilangan Berpangkat

  • 9 min read
Loading...

Disusun oleh: M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019

Apa yang ada dipikiranmu ketika mendengar kata pangkat? Kata pangkat sering dikaitkan dengan sesuatu yang tinggi nilainya, atau kedudukannya. Hal yang sama juga terjadi pada matematika. Bilangan berpangkat bermanfaat untuk memperingkas dalam penulisan perkalian berulang. Selain itu, bilangan berpangkat juga digunakan untuk menyatakan suatu bilangan yang besar dalam bentuk bilangan pokok atau basis yang lebih kecil. Bilangan berpamgkat adalah bentuk penyajian notasi yang penting dalam matematika.

Konsep Awal Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat dinyatakan dengan notasi

1

Dengan a = bilangan pokok, n = pangkat

Yang menyatakan perkalian a sebanyak n faktor. Atau, lebih jelasnya

2

Ada n faktor a yang dikalikan

Sebagai contoh, kita bisa menuliskan beberapa bilangan berikut dalam bentuk pangkat

3

Selain itu, hal yang sama berlaku jika bilangan pokoknya masih berupa variabel

Loading...
class="wp-image-6576" src="https://bacaboy.com/wp-content/uploads/2020/06/word-image-309.png" alt="4" width="285" height="62" />

Pada semua contoh yang diberikan, selalu digunakan pangkat n bilangan asli, pada pembahasan selanjutnya, kita akan banyak membahas operasi bilangan berpangkat, bukan hanya pada pangkat bilangan asli saja, tetapi lebih luas lagi untuk n bilangan real.

Sifat-sifat Bilangan Berpangkat

Untuk a, b, m, n bilangan real, maka berlaku sifat-sifat perpangkatan berikut

6

Beberapa contoh penerapan dari sifat-sifat diatas diberikan seperti berikut

7

Selanjutnya, selain sifat-sifat diatas, ada lagi sifat-sifat bilangan berpangkat untuk pangkat dalam bentuk bilangan pecahan. Jika a, b, m, n, p adalah bilangan real, maka berlaku sifat-sifat seperti berikut ini.

8

Sifat-sifat diatas bukanlah suatu hal yang harus kita hafalkan, melainkan harus kita pahami karena penurunan sifat-sifat diatas saling berkaitan satu sama lain. Pemahaman akan dasar bagaimana sifat-sifat diatas diturunkan akan sangat bermanfaat bagi kita untuk mengingat kembali sifat mana yang harus digunakan.

Soal-soal mengenai bentuk akar dan pangkat adalah salah satu jenis soal yang sering muncul pada ujian, seperti ujian nasional. Pengerjaannya sebenarnya tidak perlu analisis yang terlalu tinggi. Namun, pemahaman akan penggunaan sifat-sifat yang diberikan diatas sangatlah perlu dalam menyelesaikan soal berjenis akar dan pangkat ini. Berikut ini beberapa contoh soal mengenai akar dan pangkat.

Tentukanlah nilai dari

8

Hal yang paling penting saat mengerjakan soal mengenai bilangan berpangkat adalah, kita harus mengetahui akan diubah ke bilangan pokok apa bentuk-bentuk pangkat tersebut. Sebagaimana yang kita ketahui, bahwa 25, 125, dan 625 adalah bentuk pangkat dari 5. Perhatikan juga bahwa 0.04 = 4/100 = 1/25 = 1/52 = 5-2. Dengan demikian, menggunakan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat, langkah-langkah pengerjaan soal tersebut diberikan seperti berikut.

9

Jadi,

10

Contoh lain dengan menggunakan variabel-variabel seharusnya tidak menimbulkan kebingungan bagi para pembaca, karena sifat-sifat yang digunakan adalah sama.

Tentukanlah nilai dari

11

dengan a = 5, b = 3, dan c = 2

Perhatikan langkah-langkah berikut ini. Ada banyak jalan atau alur bagi kita untuk menyelesaikan soal tersebut. Pertama kita bisa mensubstitusikan sejak awal nilai-nilai a, b, dan c ke dalam bentuk tersebut, lalu mengerjakan soal sama seperti contoh sebelumnya. Atau yang kedua, bisa dimulai dengan menyederhanakan terlebih dahulu bentuk pangkat dengan variabel diatas, lalu mensubstitusikan nilai a, b, dan c. Pada kesempatan kali ini kita akan menggunakan cara kedua karena biasanya lebih efisien.

Perhatikan proses pengerjaannya berikut ini.

14

Terakhir, substitusikan nilai masing-masing a = 5, b = 3, dan c = 2, menjadi

15

Operasi Pada Bentuk Akar

Bentuk pangkat

16

untuk n = 2 adalah salah satu bentuk pangkat pecahan atau akar yang sering digunakan dalam matematika. Jika n = 2, maka bentuk diatas menjadi

17

Khusus indeks 2 sebagai akar pangkat biasanya tidak ditulis. Bilangan diatas biasanya disebut dengan akar pangkat dua atau akar kuadrat. Beberapa bilangan dengan akar pangkat dua contohnya adalah sebagai berikut.

18

Dan masih banyak lagi bilangan akar kuadrat lainnya. Namun, perhatikan bahwa ada beberapa bilangan akar kuadrat yang hasilnya adalah bilangan bulat. Bilangan yang demikian disebut bilangan kuadrat sempurna, karena dihasilkan oleh perpangkatan 2 suatu bilangan asli. Sebagai contoh, 9 adalah bilangan kuadrat sempurna karena 32 = 9. Dapatkah kamu menyebutkan contoh-contoh lain dari bilangan kuadrat sempurna?

Berikut ini adalah beberapa sifat dari operasi bentuk akar. Jika a, b, c, d bilangan real, maka

19

Selain itu juga dengan memanfaatkan sifat-sifat diatas, kita memperoleh

20

Atau secara ekuivalen

21

Kedua bentuk diatas adalah bentuk akar yang akan sering kita gunakan dalam pembahasan berikutnya. Dengan demikian, sebagai contoh, suatu bentuk akar

22

Dapat kita nyatakan sebagai

23

Jadi, langkah yang harus kita lakukan untuk menyederhanakan bentuk akar

24

menjadi bentuk penjumlahan dua bentuk akar yang lebih sederhana adalah dengan menentukan dua bilangan a dan b sedemikian hingga a + b = x, dan ab = y. Pada contoh yang terakhir,

25

Kita dapat tentukan bahwa x = 14 dan y = 33. Selanjutnya, kita juga menemukan bilangan a dan b, yaitu a = 11 dan b = 3 sedemikian hingga 11 + 3 = 14 dan 11 × 3 = 33. Akibatnya, kita dapat menyederhanakan bentuk tadi sebagai

Loading...
Loading...
26

Menyederhanakan Bentuk Akar

Ada kalanya suatu bentuk akar yang kita temui belum dalam bentuk yang paling sederhana. Bilangan-bilangan berbentuk akar seperti

23

Masih belum dalam bentuk yang paling sederhana karena kita bisa menuliskan

21

Strategi dalam menyederhanakan bentuk akar yaitu carilah faktor dari bilangan dibawah akar yang merupakan kuadrat sempurna. Tarik akar bilangan kuadrat sempurna tersebut kemudian kalikan dengan faktor lainnya yang bukan kuadrat sempurna. Sebagaimana contoh yang diberikan diatas.

Dengan demikian, bilangan-bilangan seperti

22

Tidak bisa lagi disederhanakan karena tidak memiliki faktor berupa bilangan kuadrat sempurna.

Merasionalkan Penyebut Suatu Pecahan Berbentuk Akar

Mengapa kita membahas mengenai bilangan irasional? Pada suatu pecahan yang penyebutnya memiliki bentuk akar, kita perlu mengubah bentuk irasional pada penyebut tersebut menjadi bentuk yang rasional? Bagaimana caranya? Hal itu yang akan kita bahas kali ini.

Suatu pecahan yang penyebutnya irasional bisa dirasionalkan dengan cara mengalikan pecahan tersebut dengan suatu faktor pengali. Faktor pengali tersebut bergantung dengan penyebut pecahan yang ingin kita rasionalkan. Berikut ini cara untuk merasionalkan suatu penyebut pecahan.

soal

Berikut ini kita berikan contoh untuk masing-masing kondisi

Satu hal yang perlu kita garis bawahi, adalah yang kita lakukan tadi adalah untuk merasionalkan bagian penyebutnya saja, kita tidak membuat bilangan pecahan irasional menjadi bilangan yang rasional.

Contoh Soal Latihan dan Pembahasan

  1. Tentukanlah nilai dari
31

Jika a = 27, b = 5, dan c = 16

Jawab:

Dengan menyederhanakan terlebih dahulu bentuk pecahan, maka

32

2. Sederhanakanlah bentuk akar berikut

33

Jawab:

Dengan memerhatikan faktor-faktor masing-masing bilangan dibawah tanda akar, maka

34

3. Rasionalkan bentuk pecahan berakar berikut.

36

Nyatakan dalam bentuk penjumlahan tiga bilangan pecahan.

Jawab:

Perhatikan penyebut pecahan tersebut. Kita memandang 2 suku pertama sebagai kesatuan, Selanjutnya, dengan menggunakan aturan-aturan dalam perasionalan penyebut, kita dapatkan

37

4. Diketahui persamaan

38

Tentukanlah nilai dari a + b.

Jawab:

Perhatikan bahwa bentuk akar tersebut belum memenuhi format

39

Hal pertama yang harus kita lakukan adalah mengubah formatnya menjadi seperti diatas.

40

Selanjutnya, hal yang harus kita lakukan adalah mencari nilai p dan q sedemikian hingga p + q = 156 dan p × q = 2240. Dengan sedikit inspeksi, kita temukan bahwa bilangan tersebut adalah 16 dan 140. Sehingga,

41

Akibatnya, a = 4, dan b = 140. Jadi,

42

5. Buktikan bahwa a0 = 1 untuk a ≠ 0.

Jawab:

Seperti yang kita ketahui, pada bilangan berpangkat berlaku sifat

45

Misalkan am = b. Karena a ≠ 0, maka b ≠ 0. Selanjutnya, kita misalkan juga n = m. dan n, m tidak sama dengan 0. Akibatnya,

46

Namun, karena

47

Kita dapat simpulkan bahwa

48

(Terbukti)

Daftar Pustaka

Yazid, Estien. 2012. Rumus-Rumus Esensial Matematika SMA. Yogyakarta: Penerbit ANDI

Loading...
Loading...