Home / Matematika / Bilangan Bulat

Bilangan Bulat

  • 7 min read

Nama : Leyli Lathifatul Azizah

Kampus : Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Fakultas : Fakultas Sains dan Analitika Data (FSAD)

Jurusan : Matematika

Angkatan : 2019

Bilangan Bulat

Jika kita mengumpulkan semua bilangan asli dan inversnya, serta memasukkan angka 0, maka bilangan tersebut dapat disebut dengan bilangan bulat, dengan :

bilangan bulat

Bilangan bulat dapat dibuat agar sesuai dengan titik-titik pada garis secara alami. Pertama, buat garis, lalu letakkan angka 0 di tempat yang diinginkan. Kedua, tempatkan angka 1 di sebelah kanan angka 0. Hal ini menentukan jarak tiap angka. Terakhir, letakkan angka 1, 2, 3, 4, 5, … di sebelah kanan angka 0, lalu kebalikannya (invers) -1, -2, -3, -4, … pada sebelah kiri angka 0. Perhatikan gambar di bawah ini :

bilangan bulat 2

Perhatikan bahwa saat bergerak ke kanan pada garis bilangan, bilangan bulat akan semakin besar. Di sisi lain, saat kita bergerak ke kiri pada garis bilangan, bilangan bulat akan menjadi semakin kecil.

Bilangan Bulat Positif dan Negatif

Pada garis bilangan, beberapa bilangan bulat terletak di sebelah kanan nol dan beberapa lainnya terletak di sebelah kiri nol.

  • Jika a adalah bilangan bulat yang terletak di sebelah kanan nol, maka a disebut dengan bilangan bulat positif
  • Jika a adalah bilangan bulat yang terletak di sebelah kiri nol, maka a disebut dengan bilangan bulat negatif

Misalnya adalah angka 7, 25, dan 142 merupakan bilangan bulat positif, sedangkan angka -7, -53, -435 merupakan bilangan bulat negatif.

Nilai Mutlak

Jika a adalah bilangan bulat, maka nilai mutlak dari a (ditulis |a|) didefinisikan sebagai jarak antar bilangan bulat tersebut dengan angka nol pada garis bilangan.

Contoh soal :

  1. Sederhanakan | -4 |

Jawab :

Perhatikan posisi -4 pada garis bilangan. Lihatlah bahwa angka -4 terletak sejauh 4 unit dari angka nol.

nilai mutlak

Karena nilai mutlak merupakan jarak antara bilangan bulat dengan angka 0, maka | -4 | = 4.

Penjumlahan Bilangan Bulat

Penjumlahan Bilangan Bulat dengan Tanda yang Sama

Untuk menjumlahkan dua bilangan bulat dengan tanda yang sama (baik positif atau negatif), tambahkan besarnya (nilai mutlak), kemudian tambahkan tanda yang sama tersebut.

Contoh Soal :

  1. Sederhanakan 7 + 12

Jawab :

Soal di atas memiliki tanda yang sama. Besarnya (nilai mutlak) dari 7 dan 12 adalah 7 dan 12. Apabila dijumlahkan menjadi 19. Dengan tanda yang sama-sama positif, maka :

7 + 12 = 19

2. Sederhanakan -8 + (-9)

Jawab :

Soal di atas juga memiliki kedua tanda yang sama. Besarnya (nilai mutlak) dari -8 dan -9 adalah 8 dan 9. Apabila dijumlahkan menjadi 17. Dengan tanda yang sama-sama negaif, maka hasilnya menjadi :

-8 + (-9) = -17

Penjumlahan Bilangan Bulat dengan Tanda yang Berbeda

Untuk menjumlahkan bilangan bulat dengan tanda yang berbeda (satu positif dan satu negatif), kurangi bilangan bulat dengan nilai yang lebih kecil (nilai mutlak) dari angka dengan nilai yang lebih besar. Kemudian beri tanda yang sama dengan nilai yang lebih besar.

Contoh soal :

3. Sederhanakan -14 + 11.

Jawab :

Soal di atas memiliki tanda yang berbeda. Besar (nilai mutlak) dari -14 dan 11 adalah 14 dan 11. Jika kita mengurangkan nilai yang lebih kecil dari yang lebih besar, maka akan didapatkan angka 3. Angka -14 memiliki nilai mutlak yang lebih besar, sehingga tanda yang digunakan yaitu tanda negatif. Maka :

-14 + 11 = -3

Sifat Penjumlahan Bilangan Bulat

  • Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah dua bilangan bulat, maka :

a + b = b + a

  • Sifat Asosiatif

Jika a, b dan c adalah tiga bilangan bulat, maka :

a + (b + c) = (a + b) + c

Pengurangan Bilangan Bulat

Pengurangan adalah kebalikan dari penjumlahan.

Jika a dan b adalah dua bilangan bulat, maka :

a – b = a + (-b)

Mengurangkan b sama dengan menjumlahkan dengan invers dari b.

Contoh Soal :

  1. Sederhanakan -13 – 27.

Jawab :

Lawan (invers) dari 27 adalah -27. Mengurangkan 27 sama dengan menambahkan -27. Sehingga :

-13 – 27 = -13 + (-27)

= -50

Penggandaan Bilangan Bulat

Pada bagian ini, akan dibahas tentang perkalian dan pembagian bilangan bulat.

  • Tanda yang Sama

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan tanda yang serupa (baik positif maupun negatif), maka perkalian ab dan pembagian a/b menghasilkan bilangan bulat positif.

tanda yang sama

Contoh Soal :

  1. Sederhanakan masing-masing pernyataan berikut :
    • (2)(3)
    • (-12)(-8)
    • -14 / (-2)

Jawab :

Ketika perkalian maupun pembagian pada tanda yang sama, akan menghasilkan bilangan bulat positif.

(2)(3) = 6

(-12)(-8) = 96

-14 / (-2) = 7

  • Tanda yang Berbeda

Jika a dan b adalah bilangan bulat dengan tanda yang berbeda (satu positif dan satu negatif), maka perkalian ab dan pembagian a/b menghasilkan bilangan bulat negatif.

Contoh Soal :

  1. Sederhanakan pernyataan berikut :
    • (2)(-12)
    • (-9)(12)
    • 24/(-8)

Jawab :

Ketika perkalian maupun pembagian pada tanda yang berbeda, akan menghasilkan bilangan bulat negatif.

    • (2)(-12) = -24
    • (-9)(12) = -108
    • 24/(-8) = -3

Sifat Perkalian Bilangan Bulat

  • Sifat Komutatif

Jika a dan b adalah dua bilangan bulat, maka :

a . b = b . a

  • Sifat Asosiatif

Jika a dan b adalah dua bilangan bulat, maka :

a . (b . c) = (a . b) . c

Unsur Identitas Pada Perkalian

Jika a adalah sembarang bilangan bulat, maka :

1 . a = a dan a . 1 = a

Karena itulah, angka 1 disebut dengan bilangan identitas pada perkalian.

Unsur Perkalian Dengan -1

Mengalikan suatu bilangan dengan angka -1 identik dengan mengubah bilangan tersebut menjadi negatif. Atau dapat ditulis menjadi :

(-1) . a = -a

Eksponen

Misalkan a adalah bilangan bulat dan n juga merupakan sembarang angka. Jika n ≠ 0, maka :

Sehingga, untuk menghitung an, kalikan a sebanyak n kali.

Contoh Soal :

  1. Sederhanakan (-2)3

Jawab :

Dapat dilihat bahwa angka 3 merupakan bilangan eksponen. Sehingga untuk menghitungnya, angka -2 dikalikan sebanyak 3 kali. Atau dapat ditulis :

(-2)3 = (-2)(-2)(-2)

= (4)(-2)

= -8

2. Sederhanakan (-2)4

Jawab :

Dapat dilihat bahwa angka 4 merupakan bilangan eksponen. Sehingga untuk menghitungnya, angka -2 dikalikan sebanyak 4 kali. Atau dapat ditulis :

(-2)4 = (-2)(-2)(-2)(-2)

= (4)(-2)(-2)

= (-8)(-2)

= 16

Dari kedua contoh soal di atas, dapat disimpulkan bahwa :

  • Ketika bilangan bulat negatif memiliki pangkat (eksponen) berupa bilangan genap, maka hasilnya pasti positif.
  • Ketika bilangan bulat negatif memiliki pangkat (eksponen) berupa bilangan ganjil, maka hasilnya akan negatif.

Daftar Pustaka

  • An Introduction to the Integers :https://math.libretexts.org/Bookshelves/Algebra/Book%3A_Elementary_Algebra_(Arnold)/01%3A_The_Arithmetic_of_Numbers/1.01%3A_An_Introduction_to_the_Integers.
  • Integers and Absolute Value :https://www.lcps.org/cms/lib4/VA01000195/Centricity/Domain/2032/Ch1–p.4-58–Integers.pdf

Baca juga