Home / Matematika / Deret Aritmatika

Deret Aritmatika

  • 9 min read

Disusun oleh: M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019

Permasalahan penjumlahan berpola seringkali kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Sebagai contoh, perhatikan ilustrasi berikut. Seorang bos menggaji seorang karyawannya sebesar Rp2.000.000,- di bulan pertamanya bekerja, ia juga berjanji bahwa akan senantiasa menaikkan gaji karyawannya itu sebesar Rp150.000,- di setiap bulan ia bekerja. Lalu, bagaimana cara karyawan tersebut menghitung total besaran gaji yang ia terima mulai sejak ia pertama kali bekerja hingga akhir tahun ia bekerja di tempat yang sama? Dengan konsep barisan aritmatika yang telah kita pelajari, kita bisa saja menghitung besaran gaji yang ia terima di bulan ke-12, sebagai contoh, dengan memerhatikan bahwa a = 2.000.000, b = 150.000, dan n = 12. Sehingga

1

Akhirnya kita dapatkan bahwa gaji yang ia terima di bulan ke-12 adalah Rp3.650.000,-. Namun, hal tersebut belum menjawab pertanyaan si karyawan. Yang ia inginkan adalah menghitung total gaji sejak bulan pertama ia bekerja hingga bulan ke-12, dengan kata lain ia ingin mengetahui jumlah keseluruhan gaji bulan pertama, kedua, ketiga, hingga keduabelas. Nah, hal tersebutlah yang ingin kita bahas pada kesempatan berikut.

Pengantar Deret Aritmatika

Pada suatu hari, di usianya yang masih 10 tahun, Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855), bocah yang kelak menjadi ilmuwan besar itu di suruh oleh gurunya untuk menuliskan angka 1 hingga 100 di papan tulis kelas. Ia pun melakukan apa yang gurunya perintahkan dan setelah ia selesai, gurunya meminta untuk menjumlahkan semua hasilnya. Secara cepat, Gauss kecil pun menjawab “5050”, yang membuat gurunya terheran-heran akan jawabannya. Gurunya bertanya lagi, “bagaimana cara kau menjawabnya?” Gauss pun menjelaskan dengan ide sebagai berikut

2

Sebuah penyelesaian yang sangat brilian untuk anak berusia 10 tahun waktu itu. Selanjutnya, di sepanjang masa hidupnya, Gauss juga telah meninggalkan beberapa penemuan penting yang menjadikannya diakui sebagai salah satu matematikawan terbaik di dunia.

Konsep yang ditemukan Gauss sangat bermanfaat dalam penurunan rumus deret aritmatika.

Penurunan Rumus Deret Aritmatika

Denagn konsep yang sama, kita akan mencoba menurunkan hasil untuk rumus deret aritmatika. Misalkan jumlah n suku pertama suatu barisan kita lambangkan Sn , maka

3

Sebagaimana yang kita ketahui, suatu barisan aritmetika dengan suku pertama a dan beda b yang memiliki n suku akan berbentuk

4

Perhatikan bahwa, jika kita jumlahkan secara berpasang-pasangan suku-suku yang diawal dengan yang diakhir hingga bertemu di dua suku paling tengah, maka akan kita peroleh

5

Karena ada n suku yang dipasang-pasangkan, berarti ada n/2 nilai 2a + (n – 1)b yang dijumlahkan. Akibatnya,

6

Jadi, rumus untuk penjumlahan n suku pertama suatu deret aritmatika adalah

6

Jika kita mengetahui nilai Un dari barisan aritmatika tersebut, maka pekerjaan kita akan menjadi lebih ringkas karena

7

Sehingga rumus Sn bisa ditulis juga menjadi

8

Selain itu, jika kita jabarkan lebih lanjut, maka akan kita temukan bahwa

9

Sehingga Sn berbentuk suatu fungsi kuadrat dalam n, berbeda dengan Un yang merupakan fungsi linear. Rumus Sn yang terakhir bermanfaat bagi kita untuk menentukan rumus umum Sn mencari beda dari deret tersebut jika kita ketahui rumus Sn -nya.

Contoh Penerapan Rumus-Rumus Deret Aritmatika

Beberapa penerapannya ditunjukkan sebagai berikut. Misalkan kita diberikan suatu deret

4 + 11 + 18 + 25 + 32 + 39 + …

Deret tersebut memiliki suku awal a = 4 dan beda b = 7. Sehingga dari rumus barisan aritmatika kita peroleh rumus suku ke-n nya adalah

10

Kita diminta untuk mencari jumlah dari 100 suku pertama deret tersebut, maka n = 100, sehingga

11

Atau dengan cara lain, kita tentukan dulu suku ke-100 dari deret tersebut,

12

Lalu menggunakan rumus Sn yang melibatkan Un , kita peroleh

13

Yang menghasilkan jawaban yang sama.

Selanjutnya, misal kita ingin mencari rumus umum dari jumlah n suku pertama deret aritmatika tersebut, maka kita bisa mensubstitusikan nilai a dan b, tanpa mensubstitusikan nilai n, seperti berikut

14

Jika kita masukkan nilai n = 100, maka hasil yang sama pun akan kita peroleh.

15

Jadi, hasil yang sama tetap akan kita dapatkan meskipun menggunakan metode yang berbeda. Metode yang paling mudah adalah disesuaikan dengan kondisi yang diberikan dari permasalahan. Rumus umum diatas, juga dapat kita gunakan untuk menghitung jumlah dari sembarang n suku pertama yang kita ingikan, sebagai contoh jika kita ingin mencari jumlah 213 suku pertama, maka cukup bagi kita untuk mensubstitusikan n = 213 ke fungsi tersebut.

Hubungan Antara Un & Sn

Perhatikanlah bahwa

15

Karena jumlah (n – 1) suku pertama deret aritmatika dinyatakan oleh Sn – 1 , maka

16

Dengan cara yang sama, kita juga bisa menyatakan bahwa

17

Fungsi diatas kita gunakan untuk mencari suku ke-n dari suatu barisan aritmatika jika kita diberikan fungsi jumlah n suku pertamanya ( Sn ). Sebagai contoh, missal diberikan suatu deret aritmatika dengan fungsi Sn,

18

Tentukanlah suku ke-65 dari barisan tersebut. Karena n = 65, maka n – 1 = 64, sehingga suku ke-65 barisan adalah

19

Jadi, suku ke-65 dari barisan tersebut adalah 654.

Masalah selanjutnya adalah, dapatkah kita menentukan rumus umum (Un ) dari deret aritmatika yang diberikan diatas? Hal ini bisa kita lakukan dengan mengidentifikasi terlebih dahulu nilai suku awal a dan beda antar suku b. Pada pembahasan sebelumnya kita telah mengetahui bahwa

20

Dari fungsi Sn,

21

Kita peroleh bahwa

22

Selanjutnya, dengan rumus Un, maka kita bisa cari rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah

23

Jadi, rumus suku ke-n nya adalah Un = 10n + 4. Dengan rumus suku ke-n ini, kita juga bisa membuktikan bahwa jawaban kita sebelumnya tentang U65 = 654 adalah benar (tunjukkan!)

Contoh Soal Latihan dan Pembahasan

  1. Dari sauatu barisan aritmetika, suku ketiga adalah 36, jumlah suku kelima dan ketujuh adalah 144. Tentukan jumlah sepuluh suku pertama dari deret tersebut.

(UN Matematika 2007 Paket 12)

  1. 840 b. 660 c. 640 d. 630

Jawab:

Dari informasi-informasi yang diberikan, kita peroleh

31

Dengan mengeliminasi dua persamaaan yang kita peroleh tersebut, maka

32

Sehingga

33

Jadi, jumlah 10 suku pertama adalah

34

2. Seutas tali dipotong menjadi 52 bagian yang masing-masing membentuk deret aritmatika. Bila potongan tali terpendek adalah 3 cm dan yang terpanjang 105 cm, maka panjang tali semula adalah…

(UN Matematika Tahun 2008 P12)

Jawab:

Panjang potongan-potongan tali tersebut bisa kita pandang sebagai suatu deret aritmatika yang dimulai dengan tali terpendek sebagai a, dan tali terpanjang sebagai Un. Karena tali dibagi menjadi 52 potong, maka n = 52, sehingga

35
36

Jadi, panjang tali sebelum dipotong adalah 2808 cm.

3. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan dengan Sn = n2 + 3n. Suku ke-20 deret tersebut adalah…

(UN Matematika IPA 2012)

Jawab:

Seperti yang telah dibahas pada bagian materi, kita tahu bahwa

38

maka

39

4. Harminingsih bekerja di perusahaan dengan kontrak kerja 10 tahun dengan gaji awal Rp1.600.000,-. Setiap tahun Harminingsih mendapat kenaikan gaji secara berkala sebesar Rp200.000,-. Total seluruh gaji yang diterima oleh Harminingsih hingga menyelesaikan kontrak kerja adalah…

(UN Matematika IPA 2012)

Jawab:

Dengan menggunakan konsep aritmatika, maka masalah tersebut bisa kita lihat dengan memisalkan

a = 1.600.000, b = 200.000, n = 10

Sehingga total gaji yang ia terima selama kontrak kerja 10 tahun adalah S10, yaitu

Jadi, total gaji yang ia terima dalam jangka waktu tersebut adalah Rp25.000.000,-.

5. Tempat duduk gedung pertunjukan film diatur mulai dari baris depan ke belakang dengan banyak kursi di belakang lebih 4 kursi dibanding baris sebelumnya. Bila terdapat 15 baris kursi dan di baris terdepan terdapat 20 kursi, maka kapasitas gedung tersebut adalah…

(UN Matematika 2014)

Jawab:

Sama seperti soal sebelumnya, misalkan

a = 20, b = 4, n = 15

Akibatnya, total jumlah kursi dalam gedung tersebut ialah

45

Jadi, total ada 720 kursi di dalam gedung pertunjukan tersebut.

Daftar Pustaka

Yazid, Estien. 2012. Rumus-Rumus Esensial Matematika SMA. Yogyakarta: Penerbit ANDI

Baca juga