Home / Matematika / deret dan barisan

Deret dan Barisan

  • 6 min read

Penulis : Abdulaziz H

Tahukah kamu bahwa dalam keseharian kita, seringkali menjumpai dan menggunakan mereka? Beberapa contohnya adalah nomor kelas, jumlah hari dalam seminggu atau sebulan, serta susunan angka ganjil dan genap, semuanya memiliki pola-pola tersendiri. Semua itu adalah barisan dan deret.

Pengapikasian barisan dan deret yang sering kita jumpai dalam keseharian kita, misalkan banyaknya barisan kursi atau jumlah kursi dalam suatu ruangan auditorium, seberapa tinggi tumpukan benda serupa, menghitung jumlah kenaikan gaji, dll.

Pengaplikasian deret, tanpa kita sadari memegang peranan yang penting. Misalnya dengan mengenal ilmu deret ini, kita bisa mengetahui jumlah kursi yang diperlukan untuk sebuah acara di suatu gedung tertentu. Dengan mengetahui jumlah kursi dengan pasti, maka kita bisa mengefektifkan biaya yang diperlukan.

Jadi, ayo kita belajar bersama tentang barisan dan deret! Sekarang, kita akan berfokus dulu dengan barisan dan deret aritmatika.

Barisan Aritmatika

Sebelum kita membahas tentang lebih dalam tentang deret aritmatika, mari kita bahas dulu tentang barisan bilangan. Barisan bilangan adalah susunan bilangan-bilangan yang dituliskan berurutan menurut suatu aturan tertentu. Barisan bilangan dari suku ke-1 sampai dengan suku ke-n dapat dituliskan sebagai berikut :

U1, U2, U3, U4, …. , Un

Barisan aritmatika adalah barisan bilangan dengan hasil pengurangan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Hasil pengurangan itu bisa kita sebut sebagai beda, dilambangkan dengan ‘b’.

Contoh barisan bilangan yang juga termasuk ke dalam barisan aritmatika :

Barisan bilangan genap : 2, 4, 6, 8, 10, 12, …. Dst

Barisan bilangan ganjil : 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. Dst

Barisan bilangan prima : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …. Dst

Suku ke-n Barisan Aritmatika

Bentuk rumus umum dari suku ke-n barisan aritmatika ditulis sebagai berikut.

rumus suku barisan aritmatika

Dengan:

Un = suku ke-n

a = suku pertama

b = beda

n = banyak suku

c = konstanta

Perhatikan contoh soal dibawah ini.

Contoh soal :

Terdapat 10 bilangan yang tersusun membentuk barisan aritmatika, urutannya berbentuk seperti berikut : 13, 17, 21, 25, 29, ….

Suku ke-10 barisan tersebut adalah….

Jawaban :

Mari kita coba tuliskan dulu hal-hal yang kita ketahui.

Suku ke-1 (U1) = 13

Beda (b) = 4

Ditanyakan : U10 Sekarang, kita coba masukkan ke dalam rumusnya.

Un = a + (n-1)b

U10 = 13 + (10-1)4

U10 = 13 + (9)4

U10 = 13 + 36 = 49

Maka, suku ke-10 barisan tersebut adalah 49.

Deret Bilangan Aritmatika

Apakah itu deret bilangan? Deret bilangan adalah hasil penjumlahan dari suku-suku yang berurutan dari suatu barisan bilangan. Jumlah n suku pertama suatu deret bilangan dilambangkan dengan Sn.

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + …. + Un

Misalkan :

Terdapat 7 bilangan genap yang membentuk barisan bilangan seperti berikut :

12, 14, 16, 18, 20, 22, 24

Maka, nilai deret bilangan tersebut adalah :

S7 = 12 + 14 + 16 + 18 + 20 + 22 + 24 = 126

Sederhananya adalah saat kita menjumlahkan semua suku-suku yang ada pada suatu barisan bilangan, maka akan membentuk yang disebut sebagai deret bilangan. Contoh di atas adalah barisan bilangan yang membentuk deret aritmatika. Karena jika kamu perhatikan, antar bilangannya memiliki nilai beda yang sama, yaitu 2. Nah, mari kita bahas tentang deret aritmatika.

Deret aritmatika adalah hasil penjumlahan dari suku-suku suatu barisan aritmatika. Jumlah n suku pertama deret aritmatika dirumuskan sebagai berikut.

rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika

Dengan:

Sn = jumlah n suku pertama

n = banyak suku

a = suku pertama

b = beda

Un = suku ke-n

Misalkan :

Terdapat 7 bilangan genap yang membentuk barisan bilangan seperti berikut :

12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ….

Berapakah jumlah 50 suku pertama barisan aritmatika di atas

Kita coba tuliskan dulu yang kita ketahui : a = 12; beda (b) = 2

Sn = n/2 (2a + (n – 1)b)

S50 = 50/2 (2(12) + (50 – 1)2)

S50 = 25 (24 + (49)2)

S50 = 25 (24 + 98) = 25 (122)

S50 = 3.050

Dalam pengerjaan deret aritmatika, terkadang kita tidak hanya menggunakan rumus umumnya saja. Namun seringkali dalam tahapan pengerjaannya dapat menggunakan prinsip eliminasi dan substitusi. Untuk memahami eliminasi dan substitusi bisa dilihat pada materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV).

Perhatikan contoh soal di bawah ini.

Contoh Soal :

Suatu deret aritmatika mempunyai suku keempat bernilai 13 dan suku kesembilan bernilai 28. Jumlah dua puluh suku pertama deret tersebut adalah…

contoh soal

Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan dengan perbandingan setiap suku dengan suku sebelumnya selalu sama. Perbandingan setiap dua suku berurutan tersebut disebut dengan rasio.

Contoh barisan geometri :

3, 6, 12, 24, 48, 96, 192

Jika kamu perhatikan, barisan di atas memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Inilah contoh barisan geometri. Untuk rumus umumnya adalah :

Un = arn-1

Dengan :

Un = suku ke-n

a = suku pertama

r = rasio

Baca lebih lengkap tentang Barisan dan Deret Geometri.

Itulah penjelasan seputar Deret Aritmatika. Coba sekarang kamu sebutkan apa saja pengaplikasian deret aritmatika yang pernah kamu lakukan? Lalu untuk memperkuat pemahaman materi, yuk coba latihan soal secara mandiri terlebih dahulu kemudian akan kita coba bahas bersama. Biasakan untuk analisis soal secara hati-hati. Semangat belajar!

Contoh Soal dan Pembahasan

  1. Diketahui deret aritmatika dengan S16 = 1.000 dan U11 = 50. Suku ke-50 deret tersebut adalah….
    1. -145
    2. -50
    3. -45
    4. 145
    5. 150
  2. Pada suatu barisan aritmatika diketahui U3 + U5 + U7 + U9 = 108. Nilai suku ke-6 barisan tersebut adalah….
    1. 29
    2. 27
    3. 26
    4. 24
    5. 20
  3. Seorang karyawan menerima gaji pada bulan pertama sebesar Rp1.200.000,00. Setiap bulan gajinya naik sebesar Rp75.000,00. Jumlah gaji karyawan tersebut selama 20 bulan pertama adalah….
    1. Rp38.250.000,00
    2. Rp38.150.000,00
    3. Rp35.285.000,00
    4. Rp35.250.000,00
    5. Rp32.885.000,00

Pembahasan Soal

contoh soal 2
contoh soal 3
contoh soal 4

Sumber Pustaka

  • Arithmetic Progression https://byjus.com/maths/arithmetic-progression/
  • Aksin, Nur, Anna Yuni Astuti dan Suparno. 2019. Detik-Detik Ujian Nasional Matematika SMA IPA TA.2019/2020. Jakarta: PT. Penerbit Intan Pariwara.

Baca juga