Home / Matematika / Determinan

Determinan

  • 9 min read

Penulis : Muhammad Sandy Athalla Syach, Ilmu Aktuaria FMIPA UI 2019

Halo teman teman! Kali ini akan dibahas fungsi yang unik dan khusus dalam dunia matematika. Fungsi umumnya memetakan domain menuju kodomain dimana keduanya adalah sebuah bilangan. Namun, pernah kah terpikirkan bahwa terdapat sebuah fungsi dimana domain nya bukan sebuah bilangan! Fungsi unik yang memetakan matriks menuju tepat satu bilangan. Fungsi tersebut dinamakan determinan.

Pengertian dan Notasi Determinan

Determinan adalah sebuah fungsi yang memetakan matriks persegi menuju tepat satu bilangan. Determinan akan memasangkan setiap matriks persegi yang ada dengan satu bilangan.

Matriks persegi adalah matriks yang berukuran n x n yaitu dengan kolom berjumlah n dan baris berjumlah n. Dengan kata lain, matriks persegi adalah matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama. Perlu diperhatikan bahwa determinan hanya dapat memetakan matriks persegi.

Jika matriks yang ingin dipetakan bukan matriks persegi maka determinan tidak dapat dicari. Matriks persegi berukuran mulai dari 2×2, 3×3, 4×4, dan seterusnya. Contoh Matriks persegi sebagai berikut:

Matriks persegi

Determinan dari sebuah matriks persegi A dapat dinotasikan sebagai det(A) atau dapat menggunakan seperti tanda mutlak . Jika ingin menuliskan langsung tanpa menamakan matriks persegi nya dapat menuliskan nya dengan menginput entri matriksnya dalam tanda mutlak. Contohnya sebagai berikut:

Matriks persegi 1 Matriks persegi 3

Determinan dan Invers Matriks 2×2

Matriks persegi 2×2 adalah matriks dengan jumlah kolom dan baris terkecil. Maka dari itu, mencari fungsi determinan dan invers pada matriks ini memiliki rumus dan cara tersendiri yang diperkhusus untuk memudahkan perhitungan nya. Perhitungan determinan dapat dilakukan dengan melakukan kali silang antar entri matriks nya lalu dicari selisihnya. Rumus umum nya sebagai berikut:

rumus determinan

Contoh:

1

Maka, nilai dari determinan matriks 2×2 A adalah – 4

Salah satu kegunaan dari determinan adalah dapat digunakan untuk mencari invers dari matriks yang bersangkutan. Khusus untuk matriks 2×2 rumus umum untuk invers matriks nya adalah

rumus umum untuk invers matriks

Contoh:

contoh invers matriks

Determinan dengan Metode Sarus

Setelah mengetahui cara mencari determinan untuk matriks 2×2 kali ini akan diberikan salah satu cara untuk mecari determinan dari matriks yang berukuran diatas 2×2 yaitu 3×3, 4×4, dan seterusnya. Terdapat beberapa langkah pengerjaan dengan metode sarus, berikut langkahnya

metode sarus

Langkah I: Buatlah entri yang ada pada kolom pertama dan kedua disamping kolom terakhir

metode sarus 1

Langkah II: Buatlah garis melintang sebanyak 3 garis masing masing ke arah kiri dan kanan

metode sarus 2

Langkah III: Kalikan entri yang dilalui garis dengan tanda yang besesuaian

aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Maka didapat det(A) = aei + bfg + cdh – ceg – afh – bdi

Contoh:

contoh metode sarus

= 1 x 2 x 1 + 2 x 3 x 1 + 1 x 2 x 1 – 1 x 2 x 1 – 1 x 3 x 1 – 2 x 2 x 1

= 2 + 6 + 2 – 2 – 3 – 4 = 1

Determinan dengan Ekspansi Kofaktor

Selain dengan metode sarus, determinan juga dapat dicari dengan ekspansi kofaktor, yaitu dengan melakukan perluasan atau ekspansi pada baris dan kolom yang diinginkan dan mengoperasikanya sesuai tanda operasi serta rumus determinan 2×2.

Perluasan dilakukan dengan menutup masing masing entri dari kolom atau baris yang ingin di ekspansi dengan garis horizontal dan vertikal lalu dilakukan operasi perhitungan determinan dari angka yang tidak terkena garis dan menjumlahkan hasilnya.

Matriks akan terus menerus dilakukan ekspansi sampai menuju bentuk 2×2. Jika matriks berukuran 4×4 maka dilakukan ekspansi sebanyak dua kali. Jika matriks berukuran 5×5 maka dilakukan ekspansi sebanyak 3 kali.

Tanda – tanda operasi dalam pengerjaan:

tanda operasi

begitu seterusnya berlaku untuk setiap matriks persegi

Akan bertanda (+) pada entri yang memiliki jumlah kolom dan baris genap (baris 1 kolom 1 , …)

Akan bertanda (-) pada entri yang memiliki jumlah kolom dan baris ganjil (baris 1 kolom 2 , …)

Contoh Ekspansi kofaktor matriks A dengan perluasan baris:

Contoh Ekspansi kofaktor matriks

Langkah I : Tentukan baris atau kolom yang ingin di ekspansi (Ingin dilakukan pada baris 1)

Langkah II : Berilah garis horizontal dan vertikal pada masing masing entri baris 1 lalu hitung determinan dari angka yang tidak terkena garis lalu kalikan dengan entri yang bersesuaian dengan memerhatikan tanda ±

Pada entri 1 baris 1: (entri 1 baris 1 adalah angka 1 dan bertanda positif karena jumlah kolom dan baris genap)

Pada entri 1 baris 1

Pada entri 2 baris 1: (entri 2 baris 1 adalah angka 1 dan bertanda negatif karena jumlah kolom dan baris ganjil)

Pada entri 2 baris 1

Pada entri 3 baris 1: (entri 3 baris 1 adalah angka 1 dan bertanda positif karena jumlah kolom dan baris genap)

Pada entri 3 baris 1

Langkah III: Jumlahkan semua angka yang telah didapat

det(A) = – 8 + 24 – 8 = 8

Tips: Pilihlah baris atau kolom yang banyak mengandung entri 0 karena akan memudahkan perhitungan. Jika entri nya 0 maka akan dikali dengan angka 0 sehingga memudahkan menghitungnya

Metode ini dapat diterapkan untuk semua nxn matriks. (Contoh untuk matriks 4×4 akan ada di latihan soal dibawah)

Determinan dengan Reduksi Baris

Reduksi baris sejatinya merupakan sebuah cara untuk mempermudah kita dalam mencari determinan pada matriks matriks yang sulit untuk dihitung (angka besar/pecahan). Ide dari cara ini adalah melakukan operasi baris/kolom pada matriks. Operasi baris/kolom adalah melakukan penjumlahan/pengurangan/perkalian antar baris dan kolom dari matriks. Tujuan nya adalah memunculkan entri 0 pada matriks lalu dilakukan ekspansi kofaktor. Berikut beberapa aturan dalam melakukan reduksi baris

Aturan I :

Jika menukar satu baris/kolom pada matriks A maka det(A) menjadi minus (-) dari determinan hasil operasi baris tersebut

Contoh:

contoh determinan hasil operasi

dilakukan operasi baris menukar baris 1 menjadi baris 2 sehingga

Maka det(A) menjadi:

det(A)

Aturan II:

Jika mengalikan ataupun memfaktorkan dengan konstanta k pada satu baris/kolom matriks A maka det(A) menjadi k dikali determinan dari matriks hasil operasi

Contoh:

contoh aturan 2

Memfaktorkan 2 dari baris 1

15

Maka det(A) menjadi:

det(A) 1

Aturan III:

Jika mengalikan baris/kolom matriks A dengan konstanta k lalu menambahkan nya dengan baris/kolom lain nya maka det(A) tidak akan berubah. (Baris yang dikalikan k tidak akan mengubah entri asalnya hanya akan mengubah entri baris yang ditambahkan nya)

Contoh:

contoh

Mengalikan baris 1 dengan 2 lalu menambahkan nya pada baris 3

Mengalikan baris 1 dengan 2

Maka det(A) menjadi:

det(A) 4

Tujuan dari dilakukan serangkaian operasi baris/kolom adalah membuat matriks menuju bentuk matriks segitiga atas/bawah atau membuat matriks dengan banyak entri 0

Contoh pengerjaan reduksi baris dikombinasikan dengan ekspansi kofaktor:

Contoh pengerjaan reduksi baris

ingin dihitung det(A)

Perhatikan bahwa jika dilakukan ekspansi kofaktor langsung akan sulit karena angka nya besar. Maka dari itu dilakukan reduksi baris terlebih dahulu untuk mempermudah dengan mencoba membuat baris/kolom ber-entri 0

Memfaktorkan 5 dari baris 1, maka

Memfaktorkan 5 dari baris 1

sesuai aturan II, maka

aturan II

Mengalikan baris 1 dengan -2 lalu menambahkan nya ke baris 3, maka

Mengalikan baris 1 dengan -2

sesuai aturan III, maka

aturan III

Tujuan reduksi baris sudah tercapai, baris 3 telah mengandung entri 0, dapat dilanjutkan dengan ekspansi kofaktor dengan perluasan baris 3

Entri 1 dan 2 baris 3 adalah 0 jadi tidak perlu dihitung (pengali nya 0)

Entri 3 baris 3 adalah 1 dengan tanda positif karena jumlah kolom dan baris genap

16

Masukkan kembali ke persamaan sebelumnya

18

Contoh Soal Latihan dan Pembahasan

contoh soal 1

contoh soal 2

contoh soal 3

contoh soal 4

contoh soal 5

Daftar Pustaka

  • Anton, Howard.2014.Elementary Linear Algebra 11th Edition Applications Version.U.S.A: Wiley
  • Anton, Howard.2014.Dasar-dasar Aljabar Linier Jilid 1.Tangerang: Binarupa Aksara

Baca juga