Fungsi Komposisi dan Invers

Penulis : Miftahul firdaus islami, S.Si Guru Matematika

Pengertian

Komposisi fungsi adalah materi lanjutan dari materi Fungsi sehingga semua operasi aljabar yang berlaku di Bab Fungsi juga akan digunakan dalam Bab komposisi fungsi ini. Taukah kamu apa sebenarnya komposisi fungsi itu?

Komposisi fungsi didefinisikan sebagai fungsi yang memetakan himpunan A ke himpunan C yang dinotasikan dengan (f o g)(x) = f (g(x)) dengan g : A→B dan f : B→C. Menambahkan pemahaman mengenai fungsi komposisi ini, perhatikan ilustrasi berikut

Ilustrasi tersebut menggambarkan fungsi (f o g)(x) yang bisa kita katakan sebagai hasil dari subtitusi x yang biasa di sebut domain ke fungsi yang menghasilkan g(x), dilanjutkan subtitusi g(x) ke fungsi f yang akan menghasilkan f (g(x)). Sebagai contoh untuk memahami ilustrasi diatas, misal diketahui f(x) = x – 1 dan g(x) = 2x + 3 dengan domain {-1, 0, 1, 2} maka untuk menentukan (f o

g)(x), subtitusi setiap domain pada g(x), lalu hasil yang didapat di subtitusi lagi ke fungsi f (x)

Dari pembahasan diatas maka dapat ditarik kesimpulan bahwa (f o g)(x) = {0, 2, 4, 6}.

Dalam kehidupan sehari-hari fungsi komposisi ini dapat kita temukan pada proses produksi suatu barang dimana bahan baku dapat dimisalkan dengan x akan melalui 2 pengolahan. Misalkan pengolahan pertama adalah g(x), lalu hasil dari pengolahan pertama akan diolah kembali dengan pengolahan kedua yaitu f (x) menjadi barang yang akan dijual dipasaran. Barang hasil dua pengolahan inilah yang menjadi hasil dari fungsi komposisi (f o g)(x).

Ada banyak variasi soal fungsi komposisi, tidak hanya didapat dari 2 fungsi yang berbeda. Fungsi komposisi bisa didapat hanya dari 1 fungsi saja seperti (f o f)(x), bisa juga terdiri dari lebih dari 2 fungsi yang berbeda seperti (f o g o h)(x)

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi mempunyai 2 sifat penting yang harus kita pahami yaitu :

Tidak bersifat komutatif

Tidak komutatif berarti urutan penulisan setiap fungsinya sangat penting karena

Asosiatif

Sifat assosiatif ini berlaku jika terdapat lebih dari 2 fungsi.

(f o g o h)(x) = (f o (g o h))(x) = ((f o g) o h)(x)

Contoh soal :

1. Diketahui f (x) = 2x² + 1 dan f(x) = x – 1. Tentukan (f o g)(x) dan(g o f)(x)!

Penyelesaian :

Contoh diatas juga dapat membuktikan mengenai sifat komposisi fungsi yang pertama yaitu tidak bersifat komutatif. Dapat kita lihat bahwa hasil dari

2. Jika Maka nilai dari (f o g o h)(2) adalah…

Penyelesaian :

Invers Fungsi

Jika fungsi f : A→B maka invers dari fungsi tersebut dinotasikan dengan f ^-1 yaitu

f ^-1 : A→B. Jadi jika maka . Invers fungsi juga biasa disebut dengan fungsi kebalikan.

Langkah-langkah mencari invers dari suatu fungsi :

1. Ubah fungsi y = f (x) menjadi fungsi x dengan variabel y atau x = g(y) langkah ini dapat dilakukan dengan memindahkan ruas beberapa suku hingga fungsi y menjadi fungsi x.
2. Maka invers dari fungsi adalah g(y) dinotasikan dengan f ^-1 (y)
3. Karena fungsi awal adalah y = f (x) dimana variabel pada fungsi tersebut adalah x maka ubahlah variabel y pada f ^-1 (y) menjadi sehingga f ^-1 (x)

Untuk lebih memahami mengenai invers fungsi mari kita lihat contoh berikut :

Diketahui f (x) = 4x – 1 maka jika kita ingin mencari invers fungsi tersebut langkah pertama adalah mengubah fungsi menjadi fungsi x.

y = f (x)

y = 4x – 1

y + 1 = 4x

(y + 1)/ 4 = x

Maka (y + 1)/ 4 = x merupakan invers dari y = 4x – 1 yang dapat ditulis menjadi f ^-1 (y) =(y + 1)/ 4. Langkah terakhir yang harus dilakukan adalah merubah variabel menjadi , sehingga didapat f ^-1 (x) =(x + 1)/ 4

• Jika , maka g ^-1 (x)=…

Penyelesaian :

Invers dari fungsi h(x) = x² – 6x + 8 adalah….

Penyelesaian :

Jika fungsi asal berupa fungsi kuadrat maka kita bisa menggunakan metode melengkapkan kuadrat sempurna seperti yang sudah diajarkan saat SMP.

Dari beberapa contoh pengerjaan invers fungsi diatas dapat disimpulkan ada beberapa cara cepat untuk mengetahui invers dari beberapa fungsi. Berikut adalah tabel invers dari beberapa fungsi khusus.

Kombinasi Fungsi Komposisi dan Invers

Setelah kita belajar dan memahami materi fungsi komposisi dan invers fungsi, sekarang kita akan mempelajari mengenai kombinasi dari kedua materi tersebut. Karena kedua materi tersebut berkaitan erat maka ada beberapa soal yang membutuhkan pengerjaan menggunakan keduanya, baik fungsi komposisi terlebih dahulu lalu dicari invers fungsinya ataupun sebaliknya. Untuk lebih memahami kombinasi dua materi ini mari kita perhatikan beberapa sifat dan contoh soal berikut.

Selain sifat-sifat diatas ada 2 variasi tipe soal yang harus kita pahami, yaitu :

1. Jika (f o g)(x) dan f(x)diketahui dan yang ditanya adalah g(x)

Untuk tipe soal seperti ini penyelesaian yang dapat dilakukan adalah dengan menjabarkan (f o g)(x)= f (g(x)), lalu mensubtitusi g(x) menjadi variabel dalam fungsi f (x). Selanjutnya yang perlu dilakukan hanyalah menggunakan operasi matematika dasar untuk memindahkan beberapa suku sehingga menjadi fungsi g(x). Untuk lebih memahami langkah-langkah nya, perhatikan pembahasan soal berikut

Jika (f o g)(x) = 2x² – 4 dan f (x) = x + 3 maka g(x) = …

Penyelesaian :

(f o g)(x) = 2x² – 4

f (g(x)) = 2x² – 4

g(x) + 3 = 2x² – 4

g(x) = 2x² – 4 – 3

g(x) = 2x² – 7

2. Jika (f o g)(x) dan g(x) diketahui dan yang ditanya adalah f (x)

Langkah-langkah yang digunakan untuk menyelesaikan tipe soal seperti ini adalah sebagai berikut :

• Cari invers dari fungsi g(x)
• Subtitusikan g ^-1 (y) kedalam (f o g)(x). Hasil subtitusi tersebut adalah f (y)
• Ubah semua variabel y menjadi x

Perhatikan contoh soal berikut agar semakin paham dengan langkah pengerjaannya.

Jika (f o g)(x) = 2x² – x + 1 dan g(x) = x + 3 maka g(x)= …

Penyelesaian :

g(x) = x + 3

g ^-1 (y) = x = y – 3

f (y) = 2(y – 3)² – (y – 3) + 1

= 2(y² – 6y + 9) – y + 3 + 1

= 2y² – 12y + 18 – y + 3 + 1

= 2y² – 13y + 22

f (x) = 2x² – 13x + 22

Demikian penjelasan mengenai fungsi komposisi dan invers fungsi. Agar lebih memahami materi ini kamu bisa mengerjakan latihan soal dibawah ini.

Contoh Soal Latihan

1. Diketahui dan g(x) = 3x – 1 maka tentukan (f o g)(x)!
2. Jika , g(x) = x – 8, h(x) = x² maka (f o h o g)(x) = …
3. Diketahui f (x) = 20x , g(x) = x – 5 , maka tentukan nilai dari (g o f)(4)!
4. Jika , maka g ^-1 (y) =…
5. Jika f(x) = x² – 6x – 16 mempunyai invers fungsi yaitu…
6. Diketahui Diketahui f(x) = x² dan g(x) = x – 1 maka (g ^-1 o f ^-1)(x) = …
7. Diketahui f ^-1(x) = x + 10 dan g(x) = 15x (g o f)^-1 (1) = …
8. Jika (f o g)(x) = 3x² – x – 4 dan f (x) = x – 2 maka g(x) = …
9. Jika (f o g)(x) = 2x² – x dan g(x) = x + 3 maka f(x) = …
10. Jika (f o g)(x) = x² – 4x – 12 dan g(x) = 2x – 1 maka f(1) =

Kunci Jawaban

1)

 2.

3. 95

4.

5.

6. .

7.

8. g(x) = 3x² – x – 2

9.f(x) = 2x² – 13x + 15

10.-15

Daftar Pustaka

• Badruzzaman, Farid H. 2013. Pocket Book Matematika SMA. Jakarta Selatan :Kawah Media.
• Widodo, Untung. 2017. Mandiri Matematika untuk SMA/MA kelas X kelompok wajib. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Baca juga:

• Permutasi
• Transformasi geometri
• Logaritma
• Trigonometri