Home / Matematika / Fungsi Kuadrat

Fungsi Kuadrat

  • 8 min read

Nama : Leyli Lathifatul Azizah

Kampus : Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Fakultas : Fakultas Sains dan Analitika Data (FSAD)

Jurusan : Matematika

Angkatan : 2019

fungsi kuadrat

Persamaan Umum dari Fungsi Kuadrat

Persamaan kuadrat ialah suatu bentuk fungsi polinomial ber-orde dua yang terdapat pada suatu variabel x, dengan persamaan umumnya :

rumus fungsi kuadrat

Sedangkan untuk fungsinya, memiliki persamaan umum seperti berikut :

rumus fungsi kuadrat 1

dengan a, b, c merupakan konstanta serta a ≠ 0.

Grafik dari fungsi kuadrat di atas dinamakan grafik parabola, dengan kondisi :

  1. Jika a > 0, maka grafik parabola akan berbentuk terbuka ke atas.
  2. Jika a < 0, maka grafik parabola akan berbentuk terbuka ke bawah.

Karena bentuk grafik dari fungsi kuadrat merupakan parabola, maka grafik tersebut memiliki titik puncak (vertex). Apabila grafik parabola berbentuk terbuka ke atas, maka titik puncaknya dapat disebut sebagai titik minimun. Sedangkan apabila grafik parabola berbentuk terbuka ke bawah, maka titik puncaknya disebut sebagai titik maksimum.

Bentuk Standar dari Fungsi Kuadrat

Bentuk standar dari fungsi kuadrat juga dapat dirumuskan sebagai :

rumus fungsi kuadrat

dengan (h,k) merupakan titik puncak dari parabola.

merupakan titik puncak dari parabola

Bentuk Faktor dari Fungsi Kuadrat

Bentuk faktor dari fungsi kuadrat dapat dirumuskan sebagai :

rumus Bentuk faktor dari fungsi kuadrat

dimana a, r, s adalah konstanta dengan a ≠ 0.

Parabola memotong sumbu-x pada x = r dan x = s.

1 2 Koordinat x dari titik puncak juga dapat dicari menggunakan rumus atau dengan rumus kuadrat yaitu :

3

Contoh 1 :

Ubahlah persamaan menjadi bentuk standar dari parabola dan dapatkan titik puncaknya.

Jawab :

4

Sehingga didapatkan titik puncak parabola (h,k) = (1,-5).

5

Contoh 2 :

Dapatkan koordinat titik puncak dari parabola

Jawab :

6 Karena akan terlalu sulit untuk menemukan akarnya dengan menggunakan cara pemfaktoran, maka kita dapat menggunakan rumus

Diketahui bahwa a = 2 dan b = 5 sehingga koordinat x pada titik puncak ialah :

7

Koordinat y dari titik puncak :

9

Maka didapatkan koordinat titik puncaknya adalah (-1.25 , 13.875)

Contoh 3 :

Diketahui titik puncak suatu parabola adalah (3,1) dan melewati titik (4,3). Dapatkan persamaan dari parabola tersebut.

Jawab :

Karena diketahui bahwa titik puncaknya adalah (3,1), maka persamaannya :

10

Masukkan x = 4, y = 3 :

11 12

Sehingga persamaan parabolanya menjadi

Contoh 4 :

Dapatkan persamaan dari parabola di bawah ini menggunakan bentuk faktor dari fungsi kuadrat.

grafik fungsi kuadrat

Jawab :

Dapat dilihat bahwa parabola memotong sumbu-x pada x = 1 dan x = 3. Sehingga dapat ditulis :

15

Untuk mendapatkan a, substitusikan x = 0 dan y = 6 :

17 19

Maka persamaannya menjadi :

Contoh 5 :

Dapatkan persamaan dari parabola di bawah ini :

grafik 1

Jawab :

21 Karena telah diketahui titik balik dari parabola tersebut, maka kita akan menggunakan persamaan untuk mendapatkan a, h, dan k. Titik baliknya adalah (-3 , 2) sehingga h = -3 dan k = 2.

Maka :

22

Untuk menemukan a, gunakan titik potong pada sumbu-y (0,5). Substitusi x = 0 dan y = m(x) = 5 pada persamaan dan hitung a :

23

Sehingga didapatkan persamaan parabola :

25

fk 1

Efek dari q :

27

Efek q dapat juga disebut dengan efek vertikal karena ia berpengaruh terhadap pergeseran seluruh grafik ke atas atau ke bawah dengan jarak yang sama dan juga dalam arah yang sama.

  • Untuk q > 0, grafik dari f(x) digeser secara vertikal ke atas oleh besaran q. Titik balik atau titik puncaknya berada di sumbu-y positif.
  • Untuk q < 0, grafik dari f(x) digeser secara vertikal ke bawah oleh besaran q. Titik balik atau titik puncaknya berada di sumbu-y negatif.

Efek dari a :

Sedangkan untuk efek dari a sama dengan yang telah dijelaskan di atas :

  • Jika a < 0, maka parabola akan berbentuk terbuka ke bawah dan memiliki titik balik maksimum pada (0 , q).
  • Jika a > 0, maka parabola akan berbentuk terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum pada (0 , q).

Titik Potong

  • Titik potong di sumbu-y

Setiap titik yang berada di sumbu-y pasti memiliki titik koordinat x = 0. Oleh karena itu, untuk mendapatkan titik potong di sumbu-y, masukkan x = 0 pada persamaan.

  • Titik potong di sumbu-x

Setiap titik yang berada di sumbu-x pasti memiliki titik koordinat y = 0. Oleh karena itu, untuk mendapatkan titik potong di sumbu-x, masukkan y = 0 pada persamaan.

Sumbu Simetri

Sumbu simetri dari fungsi adalah sumbu-y yang merupakan garis x = 0.

Menggambar Grafik dari

Untuk membuat sketsa grafik dari bentuk , kita perlu menentukan beberapa hal berikut ini :

  1. Tanda dari a
  2. Titik potong pada sumbu-y
  3. Titik potong pada sumbu-x
  4. Titik balik

Contoh 6 :

Sketsalah grafik dari

Jawab :

  • Langkah pertama : Periksa bentuk standar dari persamaan

Dari persamaan dapat kita lihat bahwa a > 0 sehingga parabola yang terbentuk ialah terbuka ke atas dan memiliki titik balik minimum.

  • Langkah kedua : Menghitung titik potong

Untuk titik potong pada sumbu-y, masukkan x = 0

Sehingga didapatkan titik potong (0,-4)

Untuk titik potong pada sumbu-x, masukkan y = 0

Sehingga didapatkan titik potong (√2,0) dan (-√2,0)

  • Langkah ketiga : Menentukan titik balik

Dari bentuk standar persamaan grafik parabola, didapatkan :

Sehingga titik baliknya (0,-4)

  • Langkah keempat : Sketsa grafik

Sketsa grafik fungsi kuadrat

Sumbu simetri dari grafik parabola tersebut ialah garis x = 0

Mengaplikasikan Bentuk Fungsi Kuadrat

Ternyata fungsi kuadrat juga dapat digunakan untuk memecahkan berbagai masalah seperti menemukan nilai maksimum atau nilai minimumnya.

Contoh 7 :

Untuk t dalam detik dan ketinggian bola bisbol dalam satuan kaki, diberikan persamaan

seperti yang terlihat pada gambar.

grafik fungsi kuadrat 2

Bola bisbol bergerak cepat pada awalnya namun melambat seiring waktu karena pengaruh gaya gravitasi. Sehingga grafik parabola yang ditampilkan berbentuk terbuka ke bawah. Temukan ketinggian maksimum yang dapat dicapai oleh bola bisbol beserta waktu yang dibutuhkan untuk mencapai ketinggian tersebut.

Jawab :

Sehingga didapatkan bahwa titik balik dari persamaan tersebut ialah atau (1.469 , 37.516). Artinya bola akan mencapai ketinggian maksimum 37.516 kaki pada t = 1.459 detik.

Daftar Pustaka

  • ALGEBRA : FORM AND FUNCTION : https://books.google.co.id/books?id=4ymsDwAAQBAJ&pg
  • LECTURE NOTES : COLLEGE ALGEBRA : https://faculty.mccneb.edu/jdlee3/math_1420/oldnotes/lecture_notes_1420.pdf
  • CHAPTER THREE : QUADRATIC FUNCTIONS : http://people.math.harvard.edu/~safari/courses/precalc/material5e/Text-Chapter3.pdf
  • QUADRATIC FUNCTIONS : http://sites.millersville.edu/bikenaga/basic-algebra/quadratic-functions/quadratic-functions.pdf

Baca juga