Hukum Kepler

Penulis : Jehnsen Hirena Kane Mahasiswa FMIPA Jurusan Fisika UI

Manusia sudah mengamati pergerakan planet, bintang, dan berbagai objek antariksa lainnya sejak ribuan tahun yang lalu. Pada masa – masa awal, pengamatan ini mengarahkan para peneliti ke pemahaman geosentris, pemahaman dimana orang – orang menganggap bumi ada pusat alam semesta.

Ide ini dikemukakan oleh astronom Yunani, Claudius Ptolemy pada abad ke 2 kemudian diterima dan diakui para cendekiawan sampai 1400 tahun berikutnya. Sampai akhirnya pada tahun 1543, Astronom Polandia bernama Nicolaus Copernicus mengusulkan ide heliosentris dimana bumi dan beberapa planet lainnya mengelilingi matahari dengan orbit menyerupai lingkaran.

Silakan untuk membaca tulisan lain dari bacaboy:

• Hukum Bernoulli
• Hukum Kekekalan Energi
• Efek Doppler

Setelah model tersebut diterima luas, para peneliti mulai tertarik dengan pergerakan objek langit di luar angkasa. Johannes Kepler, astronom Jerman yang berbekal data dari koleganya dan telah bekerja selama 16 tahun pada akhirnya berhasil membuktikan bahwa mars betul mengelilingi matahari.

Pekerjaan Kepler tidaklah mudah mengingat beliau harus menghitung dan mengamati pergerakan suatu planet dari bumi, yang juga merupakan planet bergerak. Hasil jerih payah Kepler ternyata membawanya ke kesuksesan melalui 3 Hukum Kepler yang ia temui, hukum – hukum itu adalah:

Hukum Kepler Pertama

Semua planet bergerak dalam orbit elips dengan matahari yang berada pada satu titik fokus

Hukum ini menjelaskan bahwa bumi dan planet – planet lainnya berevolusi mengelilingi matahari, pada suatu orbit elips, seperti pada gambar di bawah ini:

Dengan:

•  adalah perihelion atau jarak terdekat planet dengan matahari

•  adalah aphelion  atau jarak terjauh planet dengan matahari

•  adalah sumbu semi-major

•  adalah eccentricity, semakin besar nilainya semakin lonjong bentuk elips yang dihasilkan
• M dan m adalah massa matahari dan planet
• F dan F’ adalah titik fokus pada elips

•  adalah sudut antara sumbu horizontal elips dengan posisi planet

Pada model ini diasumsikan massa planet m jauh lebih kecil dari masa matahari M ()

Hukum Kepler Kedua

luas daerah yang merupakan hasil dari garis khayal yang menghubungkan ujung – ujung lintasan planet dengan matahari pada interval waktu yang sama akan selalu sama.

Perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar elips di atas dibagi menjadi 13 bagian berbeda yang ternyata kalau dihitung dengan rasio yang pas akan memiliki luas yang sama. Titik – titik biru di luar orbit, adalah ilustrasi posisi planet pada interval waktu tertentu (misal setiap satu bulan sekali), sehingga jelas bahwa garis yang menghubungkan planet dan matahari akan menyapu luas daerah yang sama pada interval waktu yang sama.

Hukum Kepler Ketiga

Kuadrat dari periode planet mengorbit matahari proporsional dengan pangkat tiga jarak sumbu semi-major orbit planet tersebut

Secara matematis, kita dapat menerjemahkan hukum ketiga menjadi:

Yang apabila ditelusuri kembali menggunakan hukum newton kedua, dapat diubah menjadi:

dengan:

Perhatikan bahwa pada persamaan di atas yang masuk perhitungan hanyalah masa dari matahari, hal ini diperbolehkan karena asumsi di awal adalah massa matahari jauh lebih besar dari massa planet. Perlu dicatat juga bahwa sumbu semi-major panjangnya akan sama dengan jari-jari lingkaran apabila eccentricity bernilai nol.

Dalam kasus membandingkan periode dan sumbu semi-major dari dua buah planet yang mengorbit matahari yang sama, maka persamaan di atas dapat disederhanakan menjadi:

Dengan :

• adalah periode planet pertama.

• adalah periode planet kedua.

•  a1 adalah sumbu semi-major planet pertama.

•  a2 adalah sumbu semi-major planet kedua.

Nah karena pada hakikatnya manusia ingin sesuatu yang sederhana, para peneliti pada akhirnya menyederhanakan konsep sumbu semi-major menjadi jarak rata-rata antara matahari dengan planet (r), seperti pada tabel berikut:

Tanpa adanya Hukum Kepler kita tidak akan pernah mendapatkan tabel – tabel di atas, mendarat di permukaan bulan, melakukan ekspedisi luar angkasa, dan tentunya kita tidak akan bisa mendapatkan foto black hole yang pernah gempar beberapa saat lalu.

Contoh Soal Latihan

1. Hitunglah massa matahari, apabila diketahui periode bumi mengorbit matahari adalah 3,156 x 10⁷ s dan jarak rata – ratanya ke matahari adalah 1,496 x 10¹¹ m!

Diketahui

Ditanya

Berapa massa matahari?

Jawab

Pada kasus sederhana seperti ini, kita hanya perlu mengaplikasikan langsung Hukum Kepler yang ketiga:

Coba bandingkan massa matahari yang kita hitung dengan massa planet – planet lain pada tabel!

2. Dua buah planet, sebut saja planet A dan B mengorbit pada matahari yang sama. Apabila rasio antara jarak rata – rata planet A dan B ke matahari adalah 3:11, sedangkan periode planet A adalah 30 hari. Berapakah periode planet B dalam sekon?

Diketahui

Ditanya

Berapa periode planet B tersebut dalam sekon?

Jawab

Pada kasus ini, kamu memiliki opsi untuk mengonversi terlebih dahulu satuan periode menjadi sekon, tapi agar lebih sederhana mari kita lakukan perhitungan dengan satuan hari terlebih dahulu:

3. Komet Halley mengorbit matahari dengan periode 76 tahun, pada tahun 1986 komet ini memiliki jarak terdekat dengan bumi atau jarak perihelion R_p sebesar 8,9 x 10¹⁰ m. Berapakah jarak terdekat atau jarak aphelion Komet Halley dengan matahari?

Diketahui

Ditanya

Berapa besar jarak aphelion R_a Komet Halley tersebut?

Jawab

Perhatikan ilustrasi orbit planet – matahari pada bagian Hukum Kepler 1! Terlihat dari ilustrasi tersebut bahwa:

Sehingga apabila kita mengetahui nilai a maka kita dapat mencari R_a. Menggunakan persamaan Hukum Kepler 3 kita akan memperoleh:

dengan demikian kita dapat memperolah jarak aphelion,

Pertanyaan umum

Daftar Pustaka

[1] Halliday, D., Resnick, R., & Walker, J. (2016). Principles of Physics Extended, International Student Version. India: Wiley India Pvt. Ltd

[2] Serway, R. A., & Jewett, J. W. (1996). Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics 9th. International Edition (Brooks/Cole Publishing Co., Pacific Grove, CA, USA, 2011)

Baca juga:

• Momen Inersia
• Tata surya
• Hukum gravitasi newton
• Teori relativitas