Home / Matematika / induksi-matematika

Induksi Matematika

  • 10 min read

Penulis : Abdulaziz Hafidhurrahman, Universitas Terbuka, Fakultas : Hukum, Ilmu Sosial dan Ilmu Politik (FHISIP)

Saat melihat kartu domino yang sudah tersusun rapi, berjatuhan mengikuti alur yang telah disusun itu rasanya sangat menarik perhatian ya-istilahnya sering disebut oddly satisfying. Kejadian domino yang jatuh dimulai dari domino yang pertama, lalu berlanjut ke domino yang kedua, kemudian yang ketiga, keempat, dan seterusnya hingga semua domino jatuh. Kejadian inilah yang disebut sebagai domino effect.

Sekarang kita akan belajar bersama tentang sebuah prinsip dalam matematika yang cara kerjanya mirip dengan domino effect ini, bedanya prinsip ini diterapkan dalam dunia angka. Inilah Induksi Matematika.

Apa itu Induksi Matematika?

Menurut kbbi, pengertian dari induksi adalah sebuah metode pemikiran yang bertolak dari kaidah (hal-hal atau peristiwa) khusus untuk menentukan hukum (kaidah) yang umum. Dari pengertian ini bisa disimpulkan bahwa sebenarnya induksi matematika adalah salah satu cabang dari ilmu logika berpikir.

Apa sebenarnya tujuan penggunaan dari induksi matematika ini? Induksi matematika sebenarnya adalah metode atau teknik untuk membuktikan suatu nilai kebenaran sebuah pernyataan – teorema atau formula, dari setiap bilangan asli yang bisa kita sebutkan.

Induksi matematika hanya memiliki dua tahap dalam pengerjaannya, yaitu :

  1. Buktikan bahwa yang pertama itu benar.
  2. Tunjukkan bahwa lainnya benar, kemudian yang selanjutnya pasti benar juga.

Maka, semuanya pun benar.

Sampai sini, mari coba kita cerna dulu secara perlahan kedua tahapan di atas secara seksama. Jika merasa sudah cukup, simaklah tahapan di atas tadi yang dituliskan dalam bentuk kalimat matematis :

  1. Buktikan bahwa bilangan pertama (n=1) itu benar
  2. Tunjukkan bahwa bilangan lainnya (n=k) benar, kemudian (n=k+1) pasti benar juga.

Maka, semua pernyataan akan benar untuk setiap bilangan asli n.

Ingatlah lagi tentang prinsip pemikiran domino effect.

“Jika kita menjatuhkan domino yang pertama, akankah semua domino jatuh?”

“Jika bilangan pertama benar, akankah bilangan selanjutnya benar?”

Inilah yang menjadi dasar pola pikir kita, kemudian kita dapat membuktikannya dengan menggunakan induksi matematika. Ada beberapa jenis induksi matematika, yuk simak di bawah ini.

Buka pikiran, gunakanlah imajinasimu 🙂

Induksi Matematika Deret Bilangan

Disini induksi matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran dari sebuah deret bilangan. Contohnya :

Menambahkan Bilangan Ganjil :

1 + 3 + 5 + … + (2n−1) = n2

Langkah-langkah yang perlu kita lakukan adalah :

  1. Buktikan kebenaran untuk yang pertama, n=1

1 = 12 itu benar.

  1. Tunjukkan bahwa n=k itu benar.

1 + 3 + 5 + … + (2k−1) = k2 itu benar. (Asumsi)

Sekarang, buktikan bahwa n=k+1 itu benar.

1 + 3 + 5 + … + (2k−1) + (2(k+1)−1) = (k+1)2 ?

Kita mengetahui bahwa 1 + 3 + 5 + … + (2k−1) = k2 (Asumsi), kemudian masukkan nilainya:

k2 + (2(k+1)−1) = (k+1)2

Kita kalikan akan mendapatkan :

k2 + 2k + 2 − 1 = k2 + 2k+1

Sederhanakan :

k2 + 2k + 1 = k2 + 2k + 1

Karena nilainya sama, maka benar.

Induksi Matematika Hasil Perkalian/Pembagian

Pada induksi matematika ini, kita bisa membuktikan kebenaran sebuah pernyataan yang menghasilkan sebuah perkalian maupun bilangan yang bisa dibagi. Contohnya :

Contoh Soal #1

Benarkah 3n – 1 merupakan perkalian dari 2?

Jawaban Contoh Soal #1

Mari kita coba kerjakan sesuai tahapan yang sudah dibahas di atas tadi.

  1. Buktikan kebenaran untuk yang pertama, n=1

31 – 1 = 3 – 1 = 2

2 adalah perkalian dari 2, maka 31 – 1 itu benar.

  1. Tunjukkan bahwa n=k itu benar. Sebelum dapat membuktikannya, kita harus mengasumsikan bahwa 3k – 1 itu benar.

Sekarang mari kita buktikan bahwa 3k+1 – 1 merupakan perkalian dari 2.

2 x 3k merupakan perkalian 2, serta 3k – 1 itu benar (Sesuai seperti asumsi kita di awal). Jadi,

3k+1 – 1 itu benar.

Selesai. Bagaimana kita bisa berasumsi di awal bahwa 3k – 1 itu benar, walaupun kita belum membuktikannya? Karena kita menggunakan prinsip domino effect, kita menggunakan kata “Jika ….”

Contoh Soal #2

Gunakan induksi matematika untuk menunjukkan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Pembahasan Soal #2

  1. Untuk n = 1,
    Soal 16-1

    yang sangat jelas habis dibagi 4.
  2. Kita anggap 5k – 1 habis dibagi 4 untuk sebarang bilangan bulat positif k. Akan kita tunjukkan 5k + 1 – 1 juga habis dibagi 4.
    Soal 16-2

    Karena 4×5k dan 5k – 1 habis dibagi 4 maka 5k + 1 – 1 habis dibagi 4. Jadi, kita dapat menyimpulkan bahwa 5n – 1 habis dibagi 4 untuk semua bilangan bulat positif n.

Induksi Matematika Kuat

P(n) adalah pernyataan yang didefinisikan untuk bilangan bulat n, dan misalkan a dan b adalah bilangan bulat sedemikian sehingga ab. Jika dua pernyataan berikut bernilai benar,

P(a), P(a + 1), …, dan P(b) semuanya bernilai benar. (langkah dasar)

Untuk sebarang bilangan bulat kb, jika P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai a sampai k, maka P(k + 1) benar. (langkah induksi)

Maka untuk semua bilangan bulat na, P(n) benar. (Asumsi bahwa P(i) benar untuk semua bilangan bulat i mulai dari a sampai k. Cara lain untuk menyatakan hipotesis induksi adalah dengan menyatakan bahwa P(a), P(a + 1), …, P(k) semuanya bernilai benar.)

Contoh Soal :

Buktikan bahwa bea pos sejumlah Rp 12.000,00 atau lebih dapat dibentuk dengan menggunakan perangko seharga Rp 4.000,00 dan perangko seharga Rp 5.000,00.

Pembahasan Soal :

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang menyatakan bahwa bea pos dengan harga n ribu rupiah dapat dibentuk dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00.

a. Kita dapat membentuk bea pos sejumlah Rp 12.000,00, Rp 13.000,00, Rp 14.000,00 dan Rp 15.000,00 secara berturut-turut dengan menggunakan tiga perangko seharga Rp 4.000,00, dua perangko seharga Rp 4.000,00 dan satu perangko seharga Rp 5.000,00, satu perangko seharga Rp 4.000,00 dan dua perangko seharga Rp 5.000,00, dan tiga perangko seharga Rp 5.000,00.

Hal ini menunjukkan bahwa P(12), P(13), P(14), dan P(15) benar.

b. Hipotesis induksi kita adalah bahwa pernyataan P(i) benar untuk 12 ≤ ik, di mana k adalah bilangan bulat dengan k ≥ 15. Dengan kata lain kita dapat membentuk bea pos sejumlah i ribu rupiah, di mana 12 ≤ ik.

Kita harus menunjukkan bahwa P(k + 1) benar, yaitu bahwa kita dapat membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah. Dengan menggunakan hipotesis induksi, kita dapat menganggap bahwa P(k – 3) benar karena k – 3 ≥ 12, yaitu kita dapat membentuk bea pos sejumlah k – 3 ribu rupiah dengan menggunakan perangko-perangko seharga Rp 4.000,00 dan Rp 5.000,00.

Untuk membentuk bea pos sejumlah k + 1 ribu rupiah, kita hanya perlu untuk menambah perangko seharga Rp 4.000,00 lainnya kepada bea pos yang berharga k – 3 ribu rupiah tersebut. Sehingga, kita telah menunjukkan bahwa jika hipotesis induksi kita benar maka P(k + 1) juga benar.

Karena kita telah melakukan Langkah 1 dan 2 pada induksi matematika kuat, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) benar untuk semua bilangan bulat n ≥ 12.

Sekarang saatnya kamu mencoba. Setelah kamu mencoba, harapannya kamu bisa lebih memahami tentang Induksi Matematika. Coba latihan soal secara mandiri terlebih dahulu kemudian akan kita coba bahas bersama. Biasakan untuk analisis soal secara hati-hati. Semangat belajar!

Contoh Soal Latihan

  1. Dengan menggunakan induksi matematika, buktikan bahwa persamaan di bawah ini adalah benar untuk semua bilangan bulat positif.

2 + 4 + 6 +…. + 2n = n (n +1)

2. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa n2 – 3n + 4 adalah genap.

3. Perhatikan gambar di bawah ini.

Buktikan bahwa:

13 + 23 + 33 + … + n3 = ¼ n2 (n + 1)2

Pembahasan Soal

  1. Dari rumus pernyataan, ketika n = 1 atau P (1),

2 + 4 + 6 + …. + 2(1) = 1(1+1)

Maka didapatkan …. + 2 = 1 × 2 = 2

Jadi P (1) benar.

Sekarang kita asumsikan bahwa P(k) benar atau 2 + 4 + 6 +…. + 2k = k (k + 1).

Untuk P (k + 1),

2 + 4 + 6 +…. + 2k + 2 (k + 1)

= k (k + 1) + 2 (k + 1)

= (k + 1) (k + 2)

= (k + 1) ((k + 1) + 1)

Sekarang terbukti bahwa P (k + 1) juga berlaku untuk persamaan.

Jadi pernyataan yang diberikan berlaku untuk semua bilangan bulat positif.

2. Ketika n = 1,

P (1) = 1 – 3 + 4 = 2 yang merupakan bilangan genap.

Jadi P (1) benar.

Sekarang kita mengasumsikan bahwa P (k) benar atau k2 – 3k + 4 adalah bilangan genap.

Ketika P (k + 1),

(k + 1) 2 – 3 (k + 1) + 4

= k2 + 2k + 1 – 3k + 3 + 4

= k2– 3k + 4 + 2 (k + 2)

Karena k2 – 3k + 4 dan 2 (k + 2) keduanya genap, maka jumlah juga akan menjadi angka genap. Jadi terbukti bahwa n2 – 3n + 4 bahkan benar untuk semua bilangan bulat positif.

3. Untuk menjawab pertanyaan nomor ini, ada beberapa langkah.

a ) Tunjukkan itu benar untuk n = 1

13 = ¼ × 12 × 22 itu Benar.

b) Asumsikan benar pula untuk n = k,

13 + 23 + 33 + … + k3 = ¼ k2 (k + 1)2 adalah Benar (Asumsi)

Sekarang, buktikan memang benar untuk “k +1”

13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = ¼ (k + 1)2 (k + 2)2 ?

Kita tahu bahwa 13 + 23 + 33 + … + k3 = ¼ k2 (k + 1)2 (asumsi tadi), sehingga kita dapat melakukan penggantian untuk semua kecuali istilah terakhir:

¼ k2 (k + 1)2 + (k + 1)3 = ¼ (k + 1)2 (k + 2)2

Lipat gandakan semua persyaratan dengan 4:

k2 (k + 1)2 + 4 (k + 1)3 = (k + 1)2 (k + 2)2

Semua pernyataan memiliki faktor umum (k + 1)2, sehingga dapat dibatalkan:

k2 + 4 (k + 1) = (k + 2)2

Dan sederhanakan:

k2 + 4k + 4 = k2 + 4k + 4

Karena keduanya sama, Jadi itu benar.

Sumber Pustaka

  • Pengertian Induksi Menurut KBBI https://kbbi.web.id/induksi
  • Mathematical Induction https://www.mathsisfun.com/algebra/mathematical-induction.html
  • The Principle Of Mathematical Induction http://www.themathpage.com/aPreCalc/mathematical-induction.htm#principle
  • Mathematical Induction https://www.tutorialspoint.com/discrete_mathematics/discrete_mathematical_induction.htm
  • Problems on Principle of Mathematical Induction https://www.math-only-math.com/problems-on-principle-of-mathematical-induction.html

Baca juga