Home / Matematika / Integral

Integral

  • 14 min read
Loading...

Disusun oleh: Ratna Zafira Hafidzah, Universitas Indonesia 2019

Kalian pasti sudah mengetahui bahwa fungsi dapat diturunkan. Sekarang, pertanyaannya adalah, apakah fungsi juga dapat “dinaikkan”? Kalau iya, apakah prosesnya akan serupa dengan turunan fungsi?

Mari kita simak jawabannya melalui pembahasan singkat berikut!

Definisi Anti Turunan

Fungsi yang diturunkan dapat “dinaikkan” kembali ke bentuk awalnya. Proses ini disebut sebagai anti-turunan.

Secara definisi, anti-turunan dari suatu fungsi f adalah suatu fungsi yang jika diturunkan akan kembali ke bentuk asli f tersebut.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan kita memiliki sebuah fungsi f(x) yang dapat diturunkan, maka

1

Notasi ∫ adalah notasi untuk anti-turunan. Pada ilustrasi di atas, dapat dilihat bahwa turunan dan anti-turunan akan saling meniadakan sehingga hasil dari proses tersebut adalah f(x) itu sendiri. Selanjutnya, anti-turunan disebut sebagai integral tak tentu dan prosesnya disebut sebagai proses integrasi.

Integral Tak Tentu
Loading...
/>

Perhatikan juga bahwa penulisan dalam notasi ∫ harus diikuti dengan dx. Apakah untuk setiap fungsi selalu menggunakan dx? Tentu saja tidak. Sekarang, perhatikan ilustrasi selanjutnya.

integral tak tentu

Dari ilustrasi di atas, dapat dilihat bahwa setiap fungsi yang diintegralkan perlu diikuti dengan suatu notasi untuk menyatakan variabel yang akan digunakan dalam proses integrasi. Untuk fungsi di atas, variabel yang digunakan adalah t. Selanjutnya, f(t) disebut sebagai integran.

Rumus Integral Tak Tentu

rumus integral tak tentu Integral tak tentu dapat dihitung seperti berikut. Perhatikan bahwa jika r adalah bilangan rasional dan r ≠ 1, maka

Rumus di atas disebut sebagai Aturan Pangkat. Jika kalian perhatikan rumus di atas, terdapat huruf C pada hasil integrasinya. Kenapa sih, perlu ditambahkan sebuah konstanta C pada setiap hasil intergral tak tentu?

Coba perhatikan beberapa contoh berikut.

Pada kedua contoh di atas, ada dua fungsi yang diturunkan yaitu 2x+1 dan 2x+5. Keduanya sama-sama menghasilkan 2. Berdasarkan pengertian anti-turunan yang sudah kita bahas di atas, artinya integral tak tentu dari 2 bisa berupa 2x+1 atau 2x+5. Jika kita teliti lebih lanjut, akan ada tak hingga banyaknya konstanta di belakang 2x sehingga kita dapat menggantinya dengan suatu konstanta C, seperti berikut.

Sifat Integral Tak Tentu

Beberapa sifat yang dimiliki oleh integral tak tentu, antara lain.

1. Kelinearan Integral Tak Tentu

Kelinearan Integral Tak Tentu Misalkan fungsi f dan g mempunyai anti-turunan (integral tak tentu) dan k adalah konstanta, maka

Kelinearan Integral Tak Tentu

2. Aturan Pangkat yang Diperumum

Misalkan g adalah fungsi yang terdiferensialkan dan r adalah bilangan rasional, r ≠ 1, maka

Aturan Pangkat yang Diperumum

Teknik Integrasi

Pada saat kita mengerjakan integral tak tentu, tidak selalu fungsi dapat diintegralkan menggunakan aturan dan sifat yang sudah kita bahas di atas. Beberapa fungsi perlu diperlakukan secara “khusus” untuk bisa kita integralkan menggunakan aturan dan sifat dasar di atas. Terdapat beberapa cara, antara lain.

1. Metode Substitusi

Jika kita menemukan suatu integran yang berupa pasangan fungsi dan turunannya, maka kita dapat menggunakan metode substitusi ini untuk mempermudah pengerjaannya.

Perhatikan contoh berikut.

11

2. Metode Parsial

Jika suatu integran belum dapat diselesaikan dengan metode substitusi, maka terdapat metode lain, yaitu metode parsial. Metode parsial memiliki rumus sebagai berikut.

Metode Parsial

Integral Tentu

Setelah kita mengerti tentang integral tak tentu, mari kita bahas integral tentu. Apa itu integral tentu? Untuk lebih jelasnya perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan f(x) adalah fungsi yang terdefinisikan pada interval a ≤ x ≤ b. Maka integral tentu f dari a ke b adalah

Integral Tentu

Sifat Integral Tentu

1. Sifat Dasar

sifat dasar

sifat dasar 2

sifat dasar

2. Sifat Gabungan Integral

Jika f terintegralkan pada interval yang memuat titik a, b, dan c, maka

Sifat Gabungan Integral

Perhatikan ilustrasi di bawah.

grafik Sifat Gabungan Integral

3. Sifat Perbandingan

Jika f(x) dan g(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b, dan f(x) g(x) untuk setiap x dalam interval tersebut, maka

Sifat Perbandingan

4. Sifat Keterbatasan

Jika f(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b dan m ≤ f(x) ≤ M untuk setiap x dalam interval tersebut, maka

Sifat Keterbatasan

5. Kelinearan Integral Tentu

Seperti pada integral tak tentu, integral tentu juga memiliki sifat kelinearan. Misalkan f(x) dan g(x) terintegralkan pada a ≤ x ≤ b dan k adalah konstanta, maka kf dan f+g terintegralkan sebagai berikut.

Kelinearan Integral Tentu

Aplikasi Integral

Sama halnya dengan turunan, integral juga digunakan dalam perhitungan geometris. Integral, khususnya, digunakan dalam mencari luas daerah dan volume benda putar.

Agar kita dapat memahami rumus yang akan digunakan nantinya, kita perlu kembali ke awal mula integral tentu didefinisikan.

 Jumlahan Riemann

Integral tentu disebut juga integral Riemann karena konsep awal integral tentu menggunakan teori jumlahan Riemann. Jumlahan Riemann didefinisikan sebagai cara untuk menghitung daerah di bawah suatu kurva dengan membagi daerah tersebut dalam beberapa persegi panjang.

Luas Daerah

Perhatikan ilustrasi berikut luas daerah .

Misalkan S adalah daerah di bawah fungsi f(x) = 4x – x2 pada interval 0 ≤ x ≤ 4.

grafik luas daerah Maka untuk menghitung luas daerah S tersebut, kita akan membagi nya ke dalam 4 persegi panjang.

Kemudian kita akan hitung luas dari tiap persegi panjang.

22

(i) Persegi panjang I:

(ii) Persegi panjang II:

(iii) Persegi panjang III:

(iv) Persegi panjang IV:

didapatkan luas daerah S adalah

luas daerah s

Kemudian, dari aproksimasi tadi, kita dapatkan rumus integral tentu dalam menghitung luas daerah S

luas daerah 4

Perlu diperhatikan bahwa perhitungan daerah S menggunakan jumlahan Riemann adalah aproksimasi (pendekatan) sehingga luas daerah S tersebut akan mendekati luas aslinya jika terdapat tak hingga banyaknya persegi panjang.

Maka, luas daerah kurva dengan jumlahan Riemann adalah

luas daerah kurva dengan jumlahan Riemann

Dari contoh soal di atas, kita simpulkan langkah besar dalam proses mencari luas daerah di bawah kurva dengan jumlahan Riemann, antara lain.

  1. Gambarkan daerahnya
  2. Potong menjadi beberapa persegi panjang, pilih salah satunya
  3. Hampiri (aproksimasi) luas salah satu persegi panjang
  4. Jumlahkan luas hampiran
  5. Ambil limit dari jumlah dan integralkan

Volume Benda Putar

Selain untuk mencari luas daerah, integral dapat diaplikasikan untuk hal yang lebih luas, yaitu menghitung volume benda putar. Mengapa disebut benda putar? Konsep volume benda putar sebenarnya sama dengan volume benda biasa, tetapi benda ini dibentuk dari putaran (rotasi) suatu kurva terhadap porosnya.

Dalam menghitung volume benda putar, ada 3 metode yang bisa digunakan, antara lain metode cakram, metode cincin, dan metode kulit tabung. Mari kita bahas satu per satu.

A. Metode Cakram

Kunci dari metode cakram adalah kita akan memotong kurva menjadi persegi panjang secara tegak lurus terhadap sumbu putarnya. Perhatikan gambar berikut.

Misalkan daerah yang dibatasi y = f(x) pada interval a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi sumbu x.

Metode Cakram

Ambil potongan persegi panjang tegak lurus terhadap sumbu putar.

Kemudian, saat diputar, persegi panjang tersebut akan membentuk sebuah piringan, seperti gambar di bawah.

Metode Cakram

Kita sudah mengetahui bahwa luas lingkaran adalah

luas lingkaran

luas lingkaran 2 Pada gambar di atas, r adalah fungsi y itu sendiri sehingga dapat ditulis

Kita sudah mengetahui bahwa rumus volume adalah

25

Loading...
Loading...

Luas alas yang dimaksud adalah luas lingkaran tadi dan tingginya adalah Δx sehingga didapat volume dari potongan piring tersebut

27

Seperti pada rumus luas daerah, kita lakukan langkah yang sama, yaitu jumlahkan volume dari potongan persegi panjang.

28

29 Kemudian, agar aproksimasi semakin mendekati nilai sesungguhnya, maka potongan persegi panjang dibuat setipis mungkin dan sebanyak mungkin, sehingga didapat

Akhirnya, kita dapatkan rumus integral untuk mencari volume benda putar dengan metode cakram, yaitu

30

B. Metode Cincin

Metode ini hampir sama dengan metode cakram, bedanya adalah daerah yang diputar diapit oleh dua kurva. Perhatikan ilustrasi berikut.

metode cincin

Daerah dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y = g(x) pada interval a ≤ x ≤ b.

Ambil potongan persegi panjang tegak lurus terhadap sumbu putar (sumbu x).

Sama seperti metode cakram, persegi panjang tersebut akan membentuk sebuah piringan. Bedanya, terdapat lubang kosong di dalam piringan tersebut sehingga yang terbentuk adalah sebuah cincin.

Metode Cincin

Selanjutnya, perhatikan potongan cincin. Kita sudah mengetahui pada metode cakram, volume potongan cakram adalah

volume potongan cakram

Kemudian, perhatikan pada gambar di atas, terdapat dua jari-jari, yaitu r1 dan r2. r1 adalah jarak kurva y = f(x) ke sumbu putar (sumbu x). Sedangkan r2 adalah jarak kurva y = g(x) ke sumbu putar. Sehingga didapatkan jari-jari daerah yang diputar adalah r1 – r2. Maka, kita memiliki rumus volume untuk potongan cincin, yaitu

volume potongan cakram

Seperti pada rumus luas, kita lakukan langkah yang sama, yaitu jumlahkan volume dari potongan persegi panjang.

volume dari potongan persegi panjang

Selanjutnya, agar aproksimasi semakin mendekati nilai sesungguhnya, maka persegi panjang harus dibuat setipis mungkin dan sebanyak mungkin, sehingga didapat

volume dari potongan persegi panjang

Akhirnya kita akan dapatkan rumus integral untuk mencari volume benda putar dengan metode cincin, yaitu

C. Metode Kulit Tabung

Metode kulit tabung berbeda dengan kedua metode sebelumnya karena kita akan memotong persegi panjang sejajar dengan sumbu putar. Perhatikan ilustrasi berikut.

Metode Kulit Tabung

Daerah dibatasi oleh kurva y = f(x) pada interval a ≤ x ≤ b diputar mengelilingi sumbu y.

Ambil potongan persegi panjang sejajar sumbu putar.

Perhatikan saat diputar, akan terbentuk suatu silinder cincin (bagian tengah kosong).

silinder cincin Kita sudah mengetahui c adalah sebagai berikut

silinder cincin

Perhatikan ilustrasi di bawah.

silinder cincin

Maka, untuk ilustrasi di atas, rumus volumenya adalah

silinder cincin 4

Jika kulit silinder dibuat setipis mungkin, artinya Δx2 → 0, maka

Agar aproksimasi semakin mendekati nilai sesungguhnya, maka potongan persegi panjang ada tak hingga banyaknya sehingga didapatkan rumus

Akhirnya kita dapatkan rumus integral untuk mencari volume benda putar dengan metode kulit tabung, yaitu

Contoh Soal Latihan

1. Hitung integral berikut dengan metode substitusi.

Pembahasan:

contoh soal

contoh soal Perhatikan bahwa saat x = 4, U = 9 dan saat x = 0, U = 1. Maka soal dapat ditulis ulang menjadi

contoh soal Kemudian selesaikan perhitungan di atas.

2. Hitung integral berikut menggunakan metode parsial.

contoh soal

contoh soal Pembahasan:

contoh soal Maka soal dapat ditulis menjadi

contoh soal Kemudian selesaikan perhitungan di atas.

3. Hitung luas daerah yang dibatasi oleh y = x2– 3 dan y = 1.

contoh soal Pembahasan:

Cari titik potong antara kedua kurva.

Hitung luas daerah menggunakan integral. Perhatikan bahwa integrannya adalah kurva yang berada di atas dikurangi kurva yang berada di bawah.

contoh soal

4. Hitung luas daerah yang dibatasi y = x2 dan y = 3x + 4.

contoh soal Pembahasan:

Cari titik potong kedua kurva.

contoh soal

contoh soal Hitung luas daerah menggunakan integral. Perhatikan bahwa integrannya adalah kurva yang berada di atas dikurangi kurva yang berada di bawah.

5. Gunakan metode cakram untuk mengitung volume daerah yang diapit oleh kurva y = √x, y = 3, dan y = 0 yang diputar mengelilingi sumbu y.

contoh soal Cari titik potong antara y = √x dan y = 3.

Sketsa daerah yang dimaksud pada soal

contoh soal

Gambar satu persegi panjang tegak lurus dengan sumbu putar sebagai bantuan.

Perhatikan bahwa saat diputar, kurva akan terlihat seperti ini.

kurva contoh soal

Hitung volume daerah yang diputar menggunakan integral. Perhatikan persegi panjang yang telah kita gambar tadi. Pada persegi panjang tersebut, yang menjadi lebar dari persegi panjang adalah Δy, maka proses integrasi akan dilakukan terhadap variabel y.

contoh soal Untuk itu, kita perlu mengubah kurva y: f(x) = √x ke dalam bentuk x: f(y) = y2. Maka integralnya adalah

contoh soal

Demikian penjelasan tentang integral dan aplikasinya. Meskipun aplikasi utama integral adalah untuk menghitung luas dan volume, tetapi integral dapat diperluas kegunaannya. Misalnya, dalam fisika, integral dan turunan dapat digunakan dalam menentukan kecepatan.

Oleh karena itu, jangan berhenti belajar hanya pada satu materi saja. Kita harus senantiasa mempelajari hal baru agar kita semakin memahami bagaimana dunia ini bekerja.

Sekian dari saya, terima kasih telah meluangkan waktu untuk membaca artikel ini. Mohon maaf jika masih terdapat kekurangan. Semoga kita terus diberi kesempatan untuk belajar dan memahami hal baru. Terima kasih.

Daftar Pustaka

  • She Loves Math – Riemann Sums and Area by Limit Definition (diakses melalui https://www.shelovesmath.com/calculus/integral-calculus/riemann-sums/)
  • Wikipedia – Anti-derivative (diakses melalui https://en.wikipedia.org/wiki/Antiderivative)
  • Varberg, D., Purcel, Edwin J., and Rigdon, Steven E.. Calculus 9th Ed. 2006

Baca juga

Loading...
Loading...