Home / Matematika / Integrasi Parsial & Substitusi

Integrasi Parsial & Substitusi

  • 6 min read

Penulis : Rakhmat Maulana,S.Pd – S1 Pendidikan Matematika Universitas Indraprasta

Pembukaan

Integrasi atau antiturunan atau antidiferensiasi melibatkan sedikit teknik yang melibatkan banyak akal. Terdapat dua teknik dasar untuk melakukan integrasi, yaitu substitusi dan integrasi parsial. Dua teknik ini dilakukan jika suatu integral bukan merupakan bentuk baku.

Aturan Integrasi Dasar : Bentuk Baku

Fungsi-fungsi yang sudah kita ketahui seperti fungsi konstanta, fungsi pangkat, fungsi logaritma dan fungsi eksponen, fungsi trigonometri dan fungsi inveri trigonometri, serta semua fungsi yang diperoleh dari hasil penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan komposisi dari fungsi-fungsi tersebut disebut fungsi-fungsi elementer.

Diferensiasi fungsi elementer akan selalu menghasilkan fungsi elementer, namun tidak demikian dengan integrasi atau antidiferensiasi. Misalnya integrasi dari (sin x)/x bukan merupakan fungsi elementer.

Bentuk baku yang dimaksud di sini adalah daftar integral-intergal yang sudah dikenal. Ketersediaan daftar ini akan berguna secara efektif utuk metode substitusi. Bentuk baku tersebut mencakup jenis rumus integral dari konstanta, pangkat, eksponensial, fungsi aljabar, trigonometri, sampai fungsi hiperbolik. Namun, untuk kasus ini akan ditampilkan aturan integrasi dasar bentuk baku dari konstanta sampai trigonometri saja, sebagai berikut

bentuk baku dari konstanta sampai trigonometr

fungsi trigonometri

Substitusi dalam Integral Tak – Tentu

Misalkan dalam mengerjakan soal integral tak-tentu, jika merupakan bentuk baku, maka cukup tuliskan jawabannya. Namun, jika bukan, cobalah suatu substitusi yang mengubahnya menjadi bentuk baku sampai berhasil.

Integrasi

Contoh soal dan pembahasan :

soal Integrasi

Dalam mencari permisalan untuk u, kita dapat memilih suatu fungsi yang lebih kompleks. Untuk soal ini, x^2-1 dinilai lebih kompleks dari x. Selain itu, turunan dari u haruslah bisa mengubah dx menjadi du dengan mencari kombinasi yang sesuai dengan x, sehingga hanya terdapat satu variabel dalam suatu fungsi yang akan diintegralkan, yaitu variabel u.

Setelah berhasil melakukan substitusi sehingga variabel berubah dari x menjadi u, kita tinggal melakukan integral biasa sesuai rumus pada aturan integrasi dasar bentuk baku. Hal ini karena memang suatu teknik substitusi diharapkan mengubah sebuah fungsi menjadi salah satu fungsi yang sudah dikenali atau yang terdapat dalam daftar integral-integral yang sudah dikenal.

integral

Contoh soal yang ini tidak jauh berbeda dengan contoh soal di atas. Bedanya, disini melibatkan fungsi trigonometri.

contoh soal fungsi triginometri

Untuk contoh soal yang ini, kita memerlukan dua step. Yang pertama, menentukan ke arah mana fungsi ini akan dirubah, maksudnya bentuk baku mana yang dijadikan acuan dan bentuk baku yang paling memungkinkan terdapat pada nomor 6 fungsi aljabar. Yang kedua, mencari fungsi mana yang jika diturunkan bisa menghilangkan fungsi e^x sehingga pembilangnya menjadi 1 dengan tidak mengabaikan perubahan yang mengacu pada bentuk baku yang telah dipilih.

Substitusi dalam Integral Tentu

Teknik yang digunakan sama saja seperti substitusi pada integral tak-tentu, tetapi kita harus ingat untuk mengubah batas atas dan batas bawah atau limit-limit integrasi dengan perubahan yang sesuai.

Contoh soal dan pembahasan :

limit integrasi

Dari soal ini, setelah memisalkan suatu fungsi pilihan kita dengan u, kita harus memasukkan batas-batas atau limit-limit integrasi ke dalam fungsi u untuk mendapatan batas yang baru. Teknik selanjutnya sama dengan teknik substitusi pada integral tak tentu.

Integrasi Parsial : Integral Tak – Tentu

Kita bisa menggunakan teknik integrasi parsial atau substitusi ganda ketika teknik integrasi gagal dilakukan. Teknik ini didasarkan pada integrasi dari rumus turunan dari hasilkali dua fungsi.

Misalkan u = u(x) dan v = v(x). Maka

Integrasi Parsial

Kita dapat mengintegrasi kedua ruas persamaan tersebut, sebagai berikut

Integrasi Parsial

Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan di atas bisa dituliskan sebagai berikut

Integrasi Parsial

Contoh soal dan pembahasan :

contoh soal Integrasi Parsial

contoh soal Integrasi Parsial

Integrasi Parsial : Integral Tentu

Rumus yang berpadanan untuk integral tentu adalah

Integrasi Parsial tentu

Karena dv = v’(x) dx dan du = u’(x) dx, persamaan di atas bisa dituliskan sebagai berikut

Integrasi Parsial

Contoh soal dan Pembahasan :

contoh soal Integrasi Parsial

Salah satu contoh integrasi parsial ini menggunakan fungsi logaritma natural (ln), sehingga diperlukan kalkulator untuk mencari nilainya, langsung menyebutkan hasilnya jika anda menghafalnya, atau tidak perlu dicari angka desimalnya jika soal tidak memintanya.

Contoh Soal Latihan

  1. contoh soal Integrasi

Ketika menemukan soal trigonometri yang sedikit rumit, jangan takut. Coba ubah penyebutnya ke bentuk 1/penyebut. Kita akan menemukan sec^2(z) yang mana merupakan hasil turunan dari tan z, sehingga substitusi dapat dilakukan.

2.Integrasi

Jangan lupa mengubah batas atau limit-limit integrasinya. Jika variabel adalam cos bukan merupakan bentuk sudut, kalian bisa menggunakan kalkulator untuk menyelesaikan perhitungan sampai ke bentuk desimal (step ini opsional tergantung yang diminta oleh soal).

3.

4.

Pada latihan soal di bawah ini, akan dibahas tetang integrasi parsial berulang. Memang terkadang, ketika kita mengerjakan integrasi parsial, kita menemukan bentuk integral lagi yang harus digunakan teknik integrasi parsial untuk menyelesaikannya. Sehingga, integral parsial dapat dilakukan beberapa kali.

5.

Untuk soal ini, kebetulan berapa kali integrasi parsial dilakukan pun tetap akan menghasilan integral baru yang harus diintegrasikan kembali. Cara mudahnya adalah dengan melakukan parsial sampai menemukan bentuk integral yang sama dengan soal, lalu memindah ruaskan agar tercipta suatu konstanta akibat dari kelipatan integral yang sama (soal) dan membagi ruas sebelahnya dengan konstanta tersebut.

Note : Jangan lupa menambahkan + C untuk setiap akhir proses integrasi bentuk integral tak tentu.

Daftar Pustaka

  • Simangunsong, Wilson. Matematika Peminatan Kelas XII SMA/MA. Jakarta : Gematama, 2016.
  • Varberg D., Purcel Edwin J., dan Rigdon Steven E.. Calculus. Ed Ke-9. Jakarta : Erlangga, 2010.

Baca juga