Home / Matematika / Irisan Kerucut

Irisan Kerucut

  • 8 min read

Penulis : Abdulaziz H – Universitas Terbuka

Pernahkah kamu memperhatikan berbagai bentuk lengkung yang ada di lingkungan sekitarmu? Di alam bebas dan lingkungan sekitar kita memang banyak terdapat bentuk-bentuk lengkung, mulai dari yang dibuat manusia hingga yang memang secara alami berbentuk lengkung. Contoh benda lengkung yang diciptakan manusia adalah roda, vas bunga, gelas, dan lainnya.

Secara garis besar bentuk lengkung terdiri dari 4 macam jenis, yaitu : Lingkaran, oval (ellipse), parabola, dan hiperbola. Keempat bentuk lengkung ini memang berbeda, namun mereka memiliki kesamaan. Apakah itu? Yup! Seperti judul pembahasan kita, bentuk-bentuk lengkung tadi berasal dari satu kategori yaitu irisan kerucut. Mari kita bahas satu persatu.

Apa Itu Irisan Kerucut?

Irisan kerucut dalam bahasa inggris dikenal sebagai Conics. Conics merupakan singkatan dari Conic Sections. Conic sections memiliki arti “Cross sections of a cone” atau bagian melintang dari sebuah kerucut yang menghasilkan sebuah bangun dua dimensi. Hal ini terjadi ketika kita mengiris sebuah kerucut ganda sebangun seperti gambar di bawah ini.

kerucut ganda sebangun

Hasil dari pengirisan kerucut ganda sebangun ini pun berbeda. Coba ingat, terdapat 4 macam bentuk lengkung. Dari mana kita mendapatkan keempat macam bangn lengkung ini? Bisa terjadinya lingkaran, oval (ellipse), parabola, dan hiperbola dari pengirisan kerucut disebabkan karena sudut irisan yang berbeda-beda.

macam-macam irisan kerucut

Persamaan umum dari irisan kerucut adalah :

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

Kesimpulan:

Jika A = B maka persamaan adalah lingkaran

Jika A ≠ B dan bertanda positif maka persamaan adalah elips

Jika A ≠ B dan bertanda negatif maka persamaan adalah hiperbola

Jika A = B = 0 tetapi tidak kedua-duanya maka persamaan adalah parabola/kuadrat

Jika A = B = 0 maka persamaan adalah garis lurus/linear

Mari kita coba bahas bersama tentang masing-masing bentuk lengkung.

Lingkaran

Mungkin kita sudah tidak asing lagi dengan bentuk yang satu ini, bahkan setiap hari kita pasti melihat benda berbentuk lingkaran. Bentuk lingkaran sudah sangat membantu manusia dalam segala bidang kehidupan. Coba kamu sebutkan apa saja benda berbentuk lingkaran yang sudah kamu temui hari ini?

lingkaran

Lingkaran dapat terbentuk saat kita mengiris kerucut ganda dengan posisi bidang horizontal. Bidang ini kemudian membentuk sudut 90° dengan masing-masing alas dari kerucut ganda. Besar kecilnya lingkaran tergantung posisi bidang yang digunakan untuk mengiris kerucut. Jika semakin mendekati alasnya, maka ukuran lingkaran yang dihasilkan akan semakin besar. Begitupun sebaliknya. Jika semakin mendekati ujung kerucut, maka ukuran lingkaran akan semakin kecil.

Tahukah kamu kalau lingkaran kerap kali disebut juga sebagai kasus khusus dari oval? Lingkaran terdiri dari sebuah titik pusat dan kumpulan titik poin lainnya yang mengelilingi titik pusat tersebut dengan masing-masing jarak yang sama. Inilah salah satu penjelasan mengapa sudut pusat = 2 kali sudut keliling — Penjelasan tentang sudut pusat dan keliling bisa kamu pelajari di sini. (Kalau sudah ada artikelnya bisa ditambahkan linknya ya Mas, jika belum dihapus saja sampai sebelum partisi)

lingkaran merupakan kumpulan titik

Dalam lingkaran terdapat beberapa komponen utama, yaitu :

komponen lingkaran

Sekarang, mari kita simak rumus irisan kerucut lingkaran.

Titik pusat (0,0) = x² + y² = r²

Titik pusat (h,k) =

(x – h)² + (y – k)² = r²

atau

x² + 2hx + h² + y² + 2ky + k² – r² = 0

Oval (Ellipse)

Pernahkah kamu memperhatikan telur, apa bentuknya? Atau pernahkah kamu memperhatikan biji dari cabai, apel, semangka, melon misalnya, apa bentuknya? Semua berbentuk oval. Tahukah kamu bentuk orbit bumi? Yup, bumi memutari matahari dengan orbit berbentuk oval. Begitupun dengan bulan yang mengelilingi bumi. Manusia pun meniru prinsip orbit ini pada satelit-satelit yang diluncurkan ke angkasa. Maka jika kamu ingin mempelajari tentang semesta, ini adalah salah satu jendela yang pertama.

Oval terbentuk mirip seperti lingkaran. Jika lingkaran terbentuk saat sebuah bidang mengiris kerucut ganda dengan membentuk sudut 90°, bentuk oval terbentuk saat sudut dari bidang tersebut dimiringkan sedikit, perhatikan gambar berikut.

oval

Karena bentuknya yang memanjang, oval memiliki dua titik fokus yang saling berhadapan. Jika kita tarik garis yang melalui kedua titik fokus, maka pada ujung-ujung oval akan terbentuk titik yang disebut sebagai vertex. Ada pula yang disebut sebagai major axis dan minor axis. Major dan minor axis saling berhubungan untuk membuat sebuah bentuk oval. Perhatikan gambar berikut ini.

komponen dalam oval

Sekarang mari kita perhatikan rumus-rumus dalam yang digunakan untuk menghitung komponen dalam oval :

rumus ovalParabola

Bentuk parabola memiliki fungsi yang sangat bermanfaat, hal ini disebabkan bentuknya yang unik. Bentuk parabola bisa kita dapatkan pada saat mengiris kerucut ganda dengan sudut yang lebih tinggi dari sudut yang membentuk oval. Tahukah kamu bentuk dari parabola? Perhatikan pada gambar yang terlihat di bawah ini.

parabola

Parabola berbentuk seperti lengkung atau setengah lingkaran. Namun, apakah semua bentuk lengkung merupakan parabola? Tentunya tidak, karena parabola memiliki syarat-syarat khusus. Parabola memiliki titik fokus di tengah lengkung, selain itu lengkung parabola memungkinkan bentuk ini untuk memfokuskan sesuatu yang ada di titik fokusnya. Perhatikan skema di bawah ini.

komponen dalam parabola

Contoh benda yang biasa kita gunakan adalah senter. Bola lampu diletakkan di titik fokus dari parabola. Cahaya dari bola lampu pastinya menyebar ke segala arah, namun karena berada di titik fokus memungkinkan cahaya yang terpancar ke arah lengkung parabola akan dipantulkan kembali ke arah depan, sehingga cahaya senter akan terfokus.

ilustrasi aplikasi parabola

Nah, sekarang mari kita lihat rumus-rumus untuk menghitung parabola.

rumus parabolaHiperbola

Hiperbola merupakan salah satu hasil irisan kerucut yang dibentuk akibat irisan bidang yang tegak lurus dengan selimut kerucut ganda. Suatu hiperbola memiliki 2 bagian simetris yang disebut cabang, yang terbuka ke arah yang saling berlawanan. Walaupun cabang-cabang tersebut terlihat menyerupai parabola, namun hiperbola berbeda.

Terdapat 2 jenis hiperbola tergantung dengan posisinya, yaitu hiperbola vertikal (hiperbola berada di sumbu x) dan hiperbola horizontal (hiperbola berada di sumbu y). Perhatikan gambar di bawah ini.

hiperbola

Pernahkah kamu melihat gambar tabung nuklir? Tabung ini merupakan penerapan dari bentuk hiperbola. Selain itu dalam keseharian kita, hiperbola biasa kita lihat pada tabung reaksi di laboratorium. Mengapa mereka menggunakan bentuk hiperbola? Karena bentuk ini dianggap sebagai bentuk yang stabil, dalam kasus tabung laboratorium tentunya akan memudahkan kita menggenggamnya dan mengurangi resiko tergelincir dari tangan.

hiperbola

Sekarang mari kita lihat rumus yang digunakan untuk menghitung hiperbola.

Contoh Soal dan Pembahasan

Sebuah parabola memiliki puncak (0,0) dan memiliki koordinat fokus (0,2). Persamaan dari parabola tersebut adalah….

a. x2 = 4y

b. x2 = 8y

c. x2 = 6y

d. y2 = 4x

e. y2 = 8x

2. Jari-jari dari lingkaran x2 + y2 = 3 adalah ….

a. 9

b. 6

c. 3

Persamaan garis singgung pada lingkaran x2 + y2 = 13 dan melalui titik (-2,3) adalah….

a. 2y – 3x – 13 = 0

b. 2y + 3x + 13 = 0

c. 3y – 2x – 13 = 0

d. 3y – 2x + 13 = 0

e. 3y + 2x + 13 = 0

Pembahasan Soal

  1. Karena koordinat titik fokus di atas puncak, maka parabola membuka ke atas. Bentuk umum parabola yang membuka ke atas adalah x2 = 4py.

Koordinat fokus (0,p) dengan p = 2, sehingga persamaan parabola tersebut x2 = 8y.

Maka jawabannya adalah B.

2. Persamaan Umum lingkaran dengan titik pusat (0,0) adalah x2 + y2 = r2.

Sehingga,

Pada persamaan x2 + y2 = 3, r2 = 3

Maka, jari-jari lingkaran (r) =

Jawabannya adalah E.

3. Lingkaran dengan pusat (0,0) x2 + y2 = r2, persamaan garis singgung yang melalui (x1,y1) adalah x.x1 + y.y1 = r2.

Dari persamaan x2 + y2 = 13, diketahui bahwa r2 = 13

Titik (x1,y1) = (-2,3) terletak pada garis singgung lingkaran. Sehingga, persamaan garis singgungnya adalah

x(-2) + y(3) = 13

-2x + 3y = 13

3y – 2x -13 = 0

Maka, jawabannya adalah C.

Daftar Pustaka

  • Conics Sections Series by Don’t Memorise https://www.youtube.com/channel/UCiTjCIT_9EXV1Wp1cY0zaUA/videos
  • Gambar-gambar  www.dontmemorise.com
  • Tabel Rumus https://id.wikipedia.org/wiki/Irisan_kerucut#:~:text=Dalam%20matematika%2C%20irisan%20kerucut%20adalah,Parabola%2C%20Elips%2C%20dan%20Hiperbola.