Limit Fungsi

Nama : Leyli Lathifatul Azizah

Kampus : Institut Teknologi Sepuluh Nopember

Fakultas : Fakultas Sains dan Analitika Data (FSAD)

Jurusan : Matematika

Angkatan : 2019

Limit Fungsi

Konsep limit dalam kalkulus telah ada sejak ribuan tahun lalu. Bahkan matematikawan terdahulu menggunakan proses limit untuk mendapatkan hasil yang lebih baik dari sebuah lingkaran. Oleh karena itu, perhitungan limit masih sangat dibutuhkan hingga sekarang.

Mari kita lihat contoh dari beberapa grafik berikut, khususnya pada perilaku grafik yang mendekati x = 2 :

Dapat dilihat bahwa masing-masing dari ketiga fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x = 2. Untuk menggambarkan perilaku setiap grafik di sekitar x = 2 lebih jelas, kita harus memahami konsep limit terlebih dahulu. 

Limit Secara Intuitif

Pertama-tama, perhatikan bagaimana fungsi berperilaku di sekitar x = 2 pada gambar di atas.

Karena nilai pendekatan yang dilakukan pada x = 2 melalui kedua sisi, maka dapat diketahui bahwa nilai pendekatan y = f(x) adalah 4. Secara matematis, kita dapat mengatakan bahwa batas f(x) sebagai pendekatan dari x = 2 adalah 4. Atau apabila ditulis secara simbolis menjadi :

Dari penjelasan di atas, dapat disimpulkan bahwa pengertian dari limit fungsi yaitu :

Definisi Limit

Misalkan f(x) adalah sebuah fungsi yang didefinisikan pada semua nilai interval terbuka yang mengandung a, dengan memiliki kemungkinan pengecualian dari dirinya sendiri. Jika semua nilai fungsi f(x) mendekati bilangan real L sebagai nilai dair x (≠ a) namun mendekati bilangan a, maka dapat dikatakan bahwa nilai limit dari fungsi f(x) pada x mendekati a adalah L. Secara simbolis ditulis sebagai :

Mengevaluasi Limit Menggunakan Tabel Nilai Fungsional

1. Untuk mendapatkan nilai dapat dimulai dengan melengkapi tabel nilai fungsional. Kita harus memilih dua set nilai x, satu set nilai mendekati a dengan nilai kurang dari a, dan satu set nilai mendekati a dan lebih dari a. Contoh dari tabel nilai fungsional adalah sebagai berikut :

2. Selanjutnya, dapat dilihat dalam tabel apakah nilainya mendekati suatu nilai tunggal tertentu saat kita membaca ke bawah nilai tersebut pada setiap kolom.

3. Jika kedua kolom mendekati suatu nilai y yang umumnya disebut dengan L, maka hal tersebut dapat dinyatakan dengan

Contoh soal :

1. Dapatkan hasil dari menggunakan tabel nilai fungsional!

Jawab :

Hasil dari f(x) = (sin x) / x dapat dilihat pada tabel berikut :

Ketika kita membaca kolom di atas, dapat dilihat bahwa nilai tersebut mendekati 1. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa hasil dari = 1 dengan grafik sebagai berikut :

2.  Dapatkan nilai limit berikut ini :

dimana,

Jawab :

Hal pertama yang dapat diketahui dari soal di atas adalah nilai dari g(2) = 6. Kemudian kita dapat menggunakan tabel nilai fungsional kembali sama seperti sebelumnya untuk menemukan hasil yang satunya.

Dari tabel di atas dapat diketahui bahwa dengan grafik fungsi sebagai berikut :

Ingatlah bahwa 6 bukanlah hasil dari limit di atas. Hal ini dikarenakan limit tidak memperdulikan nilai yang terjadi tepat pada x = 2, melainkan apa yang terjadi di sekitarnya. Sehingga hasil akhirnya menjadi :

Mengevaluasi Nilai Limit Menggunakan Grafik

Contoh soal :

1. Dari gambar di bawah, tentukan nilai limit

Jawab :

Meskipun kita ketahui bahwa nilai dari g(-1) = 4, namun ketika dilakukan pendekatan nilai x = -1 dari kedua sisi, nilai g(x) mendekati 3. Oleh karena itu, nilai dari

Dua Limit Penting

Misalkan a adalah bilangan real dan c adalah konstanta.

1. 
2. 

Pengamatan yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut :

a. Untuk limit pertama, perhatikan bahwa apabila x mendekati a begitu pula dengan f(x), karena f(x) = x. Akibatnya

b. Untuk limit kedua, perhatikan tabel berikut :

Amati bahwa untuk semua nilai x , nilai f(x) tetap konstan pada c. Sehingga

Mengevaluasi Limit yang Tidak Memiliki Nilai

Contoh Soal :

1. Dapatkan nilai limit dari

Jawab :

Tabel di bawah mencantumkan nilai dari fungsi sin (1/x) untuk nilai x yang diberikan.

Setelah memeriksa tabel nilai fungsional di atas, tampaknya nilai y tidak mendekati satu nilai tunggal. Sehingga dapat disimpulkan bahwa tidak memiliki hasil.

Limit Satu Sisi

Kita dapat mendefinisikan limit satu sisi menjadi 2, yaitu :

• Limit dari Kiri : Misalkan f(x) merupakan fungsi yang mendefinisikan seluruh nilai dalam interval terbuka dari bentuk z, dan L adalah bilangan asli. Jika nilai fungsi f(x) mendekati bilangan real L sebagai nilai x (dimana x < a) dan mendekati nilai a, maka dapat dikatakan bahwa L merupakan limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri. Secara simbolis dapat ditulis menjadi :

• Limit dari Kanan : Misalkan f(x) merupakan fungsi yang mendefinisikan seluruh nilai dalam interval terbuka dari bentuk (a , c), dan L adalah bilangan asli. Jika nilai fungsi f(x) mendekati bilangan real L sebagai nilai x (dimana x > a) dan mendekati nilai a, maka dapat dikatakan bahwa L merupakan limit f(x) ketika x mendekati a dari kiri. Secara simbolis dapat ditulis menjadi :

Contoh soal :

Dari fungsi dapatkan nilai dari setiap limit berikut :

a.

b.

Jawab :

Untuk menjawab pertanyaan di atas, kita dapat menggunakan tabel nilai fungsional kembali. Perhatikan bahwa untuk nilai x kurang dari 2, kita menggunakan f(x) = x + 1. Sedangkan untuk x yang lebih besar dari 2, kita menggunakan f(x) = x² – 4.

Dari tabel tersebut, didapatkan bahwa nilai dari

1. = 3
2. = 0

Dengan grafik fungsi sebagai berikut :

Hubungan Antara Limit Satu Sisi dengan Limit Dua Sisi

Misalkan f(x) menjadi fungsi yang didefinisikan pada semua nilai dalam interval terbuka yang memuat a, dengan pengecualian untuk dirinya sendiri, serta L merupakan bilangan real. Maka

Jika dan hanya jika dan

Limit Tak Hingga

Limit tak hingga dibedakan menjadi tiga, yaitu :

Limit Tak Hingga dari Kiri : Misalkan f(x) adalah fungsi yang didefinisikan pada semua nilai dalam interval terbuka dari bentuk (b , a)

1.  Jika nilai f(x) bertambah tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x < a) dan mendekati angka a, maka :

1.  Jika nilai f(x) berkurang tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x < a) dan mendekati angka a, maka :

Limit Tak Hingga dari Kanan : Misalkan f(x) adalah fungsi yang didefinisikan pada semua nilai dalam interval terbuka dari bentuk (a , c)

1.  Jika nilai f(x) bertambah tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x > a) dan mendekati angka a, maka :

2. Jika nilai f(x) berkurang tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x > a) dan mendekati angka a, maka :

Limit Tak Hingga dari Kedua Sisi : Misalkan f(x) adalah fungsi yang didefinisikan untuk semua nilai x ≠ a dalam interval terbuka yang mengandung a

Jika nilai f(x) bertambah tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x ≠ a) dan mendekati angka a, maka :

Jika nilai f(x) berkurang tanpa terikat sebagai nilai-nilai x (dimana x ≠ a) dan mendekati angka a, maka :

Contoh Soal :

Dapatkan nilai limit berikut, jika mungkin. Gunakan tabel nilai fungsional dan juga grafik fungsi untuk memastikan jawabannya.

1. 
2. 
3. 

Jawab :

Dimulai dari menyusun tabel nilai fungsional.

1.  Nilai 1/x berkurang ketika x mendekati 0 dari kiri. Sehingga
2.    Nilai 1/x bertambah ketika x mendekati 0 dari kanan. Sehingga

3. Karena dan dan memiliki hasil yang berbeda, maka tidak terdefinisi.

Grafik dari f(x) = 1/x di bawah dapat menegaskan kesimpulan ini

Daftar Pustaka

• Limit of a Function and Limit Laws : https://math.libretexts.org/Courses/University_of_California%2C_Davis/UCD_Mat_21A%3A_Differential_Calculus/2%3A_Limits_and_Continuity/2.2%3A_Limit_of_a_Function_and_Limit_Laws
• Section 2-2 : The Limit : https://tutorial.math.lamar.edu/classes/calci/thelimit.aspx

Baca juga

• Turunan fungsi
• Fungsi kuadrat
• Deret aritmatika