Home / Matematika / Lingkaran

Lingkaran

  • 7 min read
Loading...

Disusun oleh: M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019

Lingkaran merupakan salah satu bentuk geometris yang paling penting dalam matematika. Dalam kehidupan sehari-haripun, ada banyak benda disekitar kita yang memiliki bentuk lingkaran, sebagai contoh roda, jam dinding, piring, nampan, dan lain-lain. Bentuk lingkaran adalah bentuk yang sangat istimewa jika dibandingkan dengan bentuk-bentuk geometris pada bidang dimensi dua.

Lingkaran tercipta dengan menarik garis dari satu titik tetap dan lalu memutarnya 360o. Lengkungan yang terbentuk kita sebut sebagai lingkaran. Pengertian diatas adalah pengertian yang sederhana. Definisi yang lebih pas diberikan sebagai berikut. Dalam geometri Euklidean, lingkaran didefinisikan sebagai kumpulan titik-titik pada bidang datar yang semuanya berjarak sama dari suatu titik tertentu. Kumpulan titik-titik tersebut jika dihubungkan akan menghasilkan lengkungan tak berujung yang kita sebut sebagai lingkaran.

Struktur Lingkaran dan Unsur-unsurnya

Lingkaran memiliki struktur dan unsur-unsur tertentu didalamnya, perhatikan gambar berikut.

Struktur Lingkaran dan Unsur-unsurnya

Dari gambar diatas, kita bisa identifikasikan

Loading...
bagian-bagian lingkaran (beserta posisinya pada gambar diatas):

  1. Pusat lingkaran : Titik O
  2. Jari-jari/ radius lingkaran: OA, OB, OC, OD, OE, dan OF
  3. Diameter: AD
  4. Busur: Garis lengkung AB, BC, CD, DE, EF, dan FA
  5. Tali busur: EF
  6. Apotema (Ruas garis terpendek yang menghubungkan titik pusat dengan suatu tali busur): OG
  7. Juring (Daerah yang dibatasi oleh busur dan dua jari jari lingkaran): Daerah warna merah
  8. Tembereng (Daerah yang dibatasi oleh busur dan tali busur): Daerah warna biru

Selanjutnya, kita juga mengenal sudut pusat lingkaran, yaitu sudut yang dibentuk dua jari-jari lingkaran dan berpotongan di titik pusat lingkaran. Selain itu, terdapat pula sudut keliling lingkaran, yang terbentuk oleh dua tali busur dan berpotongan di salah satu titik pada keliling lingkaran. Sebagai tambahan, besar sudut satu lingkaran penuh adalah 360o atau dalam radian sebesar 2π rad.

sudut keliling lingkaran

Pada gambar diatas, sudut BOC adalah sudut pusat lingkaran dan sudut BAC adalah sudut keliling lingkaran. Selain itu, jika sudut pusat dan sudut keliling lingkaran menghadap busur yang sama, maka selalu berlaku hubungan

sudut keliling lingkaran

Dengan demikian, dapat kita tunjukkan bahwa sudut sudut ABE, ACE, dan ADE pada gambar berikut

sudut sudut ABE, ACE, dan ADE

Memiliki besar yang sama, yaitu

Memiliki besar

Luas Keliling Lingkaran

Dari penelusuran yang dilakukan oleh para ilmuwan di zaman dahulu, mereka menemukan bahwa perbandingan antar Panjang keliling dan diameter suatu lingkaran adalah selalu tetap berapun ukuran lingkarannya. Konstanta yang merupakan hasil perbandingan dari keliling dan diameter tersebut didefinisikan sebagai π, bilangan irasional yang sangat penting dalam matematika. Dengan demikian

Karena d = 2r, maka rumus untuk keliling lingkaran adalah

rumus keliling lingkaran

Sedangkan rumus untuk luas lingkaran adalah (pembuktian rumus tidak disertakan)

rumus untuk luas lingkaran

Dengan aproksimasi π = 3,141592…

Sebagai contoh, jika diberikan suatu lingkaran yang memiliki jari-jari 4 cm, maka keliling dan luasnya adalah

contoh keliling dan luas lingkaran

Selanjutnya, luas juring dengan sudut sebesar θ adalah

luas juring

Dengan cara yang sama, kita juga bisa mencari Panjang dari busur lingkaran

panjang busur lingkaran

Sebagai contoh, jika kita diberikan suatu juring lingkaran berjari-jari 18 cm, dan dengan sudut 60o seperti pada gambar berikut

contoh juring lingkaran

Maka kita bisa menentukan luas juring dan Panjang busurnya sebagai berikut.

contoh luas dan keliling juring lingkaran

Selanjutnya, jika kita ditanya mengenai keliling bangun tersebut, maka cukup tambahkan 2 kali jari-jari lingkaran yaitu 18 cm, sehingga

Loading...
Loading...

Variasi-variasi soal seperti diatas biasanya ditemukan di soal-soal ujian baik SMP maupun SMA. Kreativitas adalah hal yang sangat diperlukan dalam memecahkan masalah-masalah seperti diatas.

Persamaan Lingkaran

Suatu lingkaran dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan di koordinat kartesius. Sebagai contoh, berikut ini adalah gambar lingkaran dengan titik pusat O(0, 0) dan jari-jari r = 2

bentuk persamaan di koordinat kartesius

Secara umum, persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat (a, b) dan jari-jari r adalah

persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat

persamaan lingkaran yang memiliki titik pusat 2

Ketika titik pusatnya terletak pada titik (0, 0), maka a = b = 0, sehingga persamaan diatas menjadi

rumus lingkaran 6

Yang merupakan bentuk khusus dari persamaan lingkaran sebelumnya. Jika persamaan lingkaran (x – a)2 + (y – b)2 = r2 kita jabarkan, maka akan diperoleh persamaan yang berbentuk

persamaan lingkaran 3

Dengan memisalkan -2a = A, –2b = B, dan a2 + b2r2 = C, maka kita peroleh persamaan umum suatu lingkaran memiliki bentuk

persamaan lingkaran 5

Artinya, jika kita menemukan bentuk persamaan lingkaran seperti diatas, kita bisa menentukan titik pusat dan Panjang jari-jarinya seperti berikut

titik pusat dan Panjang jari-jarinya

Sebagai contoh, diketahui persamaan lingkaran

persamaan lingkaran

Kita akan menentukan titik pusat lingkaran dan jari-jarinya.

Artinya, A = -6, B = –10, dan C = –15, sehingga kita peroleh

titik pusat lingkaran dan jari-jarinya

Jadi, lingkaran tersebut berpusat di titik (3, 5) dan memiliki jari-jari 7. Sebaliknya, kita juga bisa menentukan persamaan lingkaran dengan diketahui titik pusat beserta jari-jarinya, seperti pada contoh berikut

Tentukanlah persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, 9) dengan salah satu titik pada lingkaran adalah (16, 14)!

Dari soal tersebut, kita tidak langsung mengetahui besarnya jari-jari lingkaran, akan tetapi, dari informasi yang tersedia, kita dapat mencari Panjang jari-jari lingkaran tersebut. Ingat rumus jarak antara dua titik, yaitu

rumus jarak antara dua titik

Rumus tersebut bisa kita gunakan untuk mencari Panjang jari-jari (Ingat! Huruf D diatas memiliki arti distance, dan bukan diameter). Perhatikan bahwa jari-jari adalah jarak antara titik pusat lingkaran dengan suatu titik sembarang pada lingkaran tersebut. Maka

rumus suatu titik sembarang pada lingkaran

Sehingga persamaan lingkaran yang bertitik pusat di titik (4, 9) dan berjari-jari 13 adalah

Sehingga persamaan lingkaran

Jadi, persamaan lingkaran tersebut adalah x2 + y2 – 8x – 18y – 72 = 0

Daftar Pustaka

Yazid, Estien. 2012. Rumus-Rumus Esensial Matematika SMA. Yogyakarta: Penerbit ANDI

Baca juga

Loading...
Loading...