Home / Matematika / logaritma

Logaritma

  • 7 min read

Penulis : Miftahul firdaus islami, S.Si

Pengertian logaritma

Apa sih sebenarnya logaritma itu? kalian tentu saja sudah belajar materi Eksponen kan? Nah. Logaritma adalah materi lanjutan dari eksponen. Fungsi logaritma adalah invers atau kebalikan dari fungsi eksponen. Logaritma sendiri didefinisikan dengan a log b = c jika dan hanya jika ac = b dengan a, b bilangan Real, a > 0, b > 0, dan a tidak sama dengan 1.

Dalam materi eksponen kalian telah mempelajari bagaimana mencari hasil perpangkatan dengan menggunakan sifat-sifat eksponen. Sedangkan dalam logaritma kalian akan diajarkan bagaimana mencari pangkatnya jika di ketahui bilangan utama dan hasil perpangkatannya. Sekarang mari kita lihat bentuk umum dan bagian-bagian dari logaritma.

bagian-bagian dari logaritma

Grafik fungsi logaritma

Dalam logaritma kita juga dapat mengetahui grafik fungsi logaritma. Setiap fungsi logaritma mempunyai grafik yang berbeda sesuai dengan basis dan numerusnya. Tetapi pada umumnya grafik fungsi logaritma dapat dibedakan menjadi 2, yaitu untuk a > 1 dan a < 1. Grafik logaritma tidak akan mungkin berpotongan di sumbu y karena hasil dari logaritma tidak mungkin sama dengan 0, tapi bisa positif dan negatif.

Grafik logaritma

Sifat logaritma

Untuk mempermudah memahami kita juga bisa membaca alog b dengan “a pangkat berapa yang hasilnya b”. Sama halnya dengan eksponen, logaritma juga mempunyai sifat-sifat yang harus dipahami. Ada 10 sifat logaritma, yaitu :

gambar algoritma 2

Sifat-sifat logaritma diatas dapat digunakan untuk mengerjakan soal-soal logaritma seperti berikut :

soal algoritma

Untuk menyelesaikan semua soal kita memang harus menggunakan beberapa sifat logaritma yang sesuai. Seperti pada penyelesaian no. 1, untuk mendapatkan hasil akhir kita menggunakan sifat no. 3 dan no. 1.

Konsep logaritma ini juga digunakan dalam kehidupan sehari-hari serta digunakan dalam berbagai bidang. Salah satu bidang yang menggunakan konsep logaritma adalah fisika. Dalam fisika kita belajar bahwa telinga manusia dapat mendengar suara dengan intensitas yang rentangnya luar biasa. Perhitungan intensitas ini dapat dihitung dengan menggunakan logaritma. Alexander Graham Bell (1847 – 1922) menggunakan logaritma untuk menghitung skala bunyi yang dinamakan Decibel yang didefinisikan sebagai logaritma 7 .

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu persamaan yang melibatkan konsep logaritma dan fungsi tertentu. Dalam persamaan logaritma kita akan diberi sebuah persamaan untuk mengetahui nilai x yang memenuhi persamaan tersebut. Untuk memahami bagaimana prosesnya mari kita lihat beberapa bentuk persamaan logaritma beserta contoh penyelesaiannya berikut

No

Bentuk persamaan

Penyelesaian

Syarat

1.

a log f(x) = b

f(x) = ba

 

2.

a log f(x) = a log g(x)

f(x) = g(x)

g(x) > 0, f(x) > 0

3.

a log f(x) = b log f(x)

f(x) = 1

 

4.

f(x)log g(x) = f(x)log h(x)

g(x) = h(x)

f(x) > 0, , g(x) > 0 dan h(x) > 0

5.

A a log f(x) + B a log f(x) + C =0

Dijadikan persamaan kuadrat

Ap2 + Bp + C =0

 

Contoh Soal Latihan 1

  1. log (x + 6) = log (3x – 2)

penyelesaian :

persamaan ini sesuai dengan persamaan no. 2 pada tabel diatas.

log (x + 6) = log (3x – 2)

x + 6 = 3x – 2

2 + 6 = 3xx

8 = 2x

4 = x

2. 2log (x2 – 2x + 1) = 0

penyelesaian :

ubahlah 0 menjadi bentuk log seperti penjelasan dibawah ini

2log (x2 – 2x + 1) = 0

2log (x2 – 2x + 1) = 2log 1

x2 – 2x + 1= 1

x2 – 2x = 0

x (x – 2) = 0

x = 0 V x = 2

3. 2log (x 2 x + 1) = 5log (x2x + 1)

penyelesaian :

persamaan ini sesuai dengan persamaan no. 3 pada tabel diatas.

2log (x 2 x + 1) = 5log (x2x + 1)

x 2 x + 1 = 1

x 2 x = 0

x (x – 1) = 0

x = 0 V x = 1

4. x+3 log (x + 2) = x+3log (3x – 2)

penyelesaian :

persamaan ini sesuai dengan persamaan no. 4 pada tabel diatas. Pada persamaan tersebut memilika numerus yang sama tapi basis yang berbeda dan basis merupakan suatu fungsi.

x + 2 = 3x – 2

4 = 2x

2 = x

Cek syarat :

f (2) = 2 + 3 = 5

f (2) > 1

g (2) = 2 + 2 = 4

g (2) > 0

h (2) = 3 . 2 – 2 = 4

h (2) > 0

Karena semua syarat terpenuhi maka penyelesaian persamaan logaritma tersebut adalah x = 2. Jika ada salah satu dari ketiga syarat tersebut tidak terpenuhi maka x tersebut tidak dapat menjadi penyelesaian persamaan.

Pertidaksamaan Logaritma

Setelah mempelajari mengenai persamaan logaritma, selanjutnya kita akan mempelajari mengenai pertidaksamaan logaritma. Pertidaksamaan disini bisa lebih besar (>) atau lebih kecil (<). Berikut ini adalah bentuk pertidaksamaan logaritma beserta penyelesaian dan syarat. syarat dalam pertidaksamaan adalah fungsi dalam logaritma harus selalu lebih dari 0. Karena dalam logaritma numerus tidak mungkin bernilai negatif.

Untuk memahami bentuk pertidaksamaan logaritma diatas perhatikan contoh soal dibawah ini

  1. 2log (x2 – 5x + 6) < 1

Penyelesaian :

2log (x2 – 5x + 6) < 2log 2

x2 – 5x + 6 < 2

x2 – 5x + 4 < 0

(x – 4)( x – 1) < 0

x = 4  V  x = 1

syarat

f(x) > 0

x2 – 5x + 6 > 0

(x – 3)( x – 2) < 0

x = 3  V  x = 2

Dari garis bilangan diatas dapat disimpulkan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas adalah { x | 1 < x < 2 atau 3 < x < 4}

Dari garis bilangan diatas dapat disimpulkan batas-batas nilai x yang memenuhi pertidaksamaan diatas adalah { x | 3 < x < 4}

Demikian penjelasan dari logaritma yang terdiri dari sifat dan operasi, persamaan dan pertidaksamaan logaritma. Agar lebih memahami materi logaritma mari kerjakan latihan soal di bawah ini.

Contoh Soal Latihan 2

  1. logaritma 5
  2. Jika 2log 3 = p dan 3log 5 = q. Maka dengan menggunakan sifat logaritma nyatakan bentuk 4log 75 menjadi p dan q!
  3. log (x – 2) + log (x – 1) = log 6. Tentukan nilai x!
  4. logaritma 6nilai x yang memenuhi persamaan tersebut adalah…
  5. 5log (3x – 9) > 5log (x + 1). Tentukan interval nilai x yang memenuhi pertidaksamaan tersebut!

Kunci jawaban

Daftar Pustaka

  • Badruzzaman, Farid H. 2013. Pocket Book Matematika SMA. Jakarta Selatan : Kawah Media.
  • Sinaga, Bornok. 2014. Matematika untuk SMA/MA/SMK/MAK kelas X semester 1. Jakarta : Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan.

Baca juga :