Home / Matematika / permutasi

Permutasi

  • 7 min read
Loading...

Penulis : Abdulaziz H Mahasiswa, Universitas Terbuka

Udara cukup panas di luar, namun tiba-tiba hembusan udara dingin berhembus menerpa Anton, jam tangannya menunjukkan pukul 12.05—tinggal 10 menit lagi hingga film dimulai. Ia baru saja tiba di lobby mall, ia pun segera menaiki eskalator menuju lantai paling atas.

Sesampainya di lantai atas, terlihat Budi, Citra, Dika, dan Endah–yang memegang 5 tiket–sudah berdiri menunggu dengan raut muka tidak sedap. Mereka semua pun segera masuk kedalam studio dan mencari tempat duduk mereka—kursi mereka sejajar.

Citra dan Endah duduk bersebelahan dan harus dekat tangga, sedangkan Dika, Budi, dan Anton duduk di kursi sisanya. Tak lama kemudian, film pun dimulai.

kemungkinan cara duduk
kemungkinan cara duduk

Adakah diantara kalian yang pernah mengalami pengalaman serupa seperti di atas? Tahukah kalian bahwa tanpa sadar kalian sudah menerapkan

Loading...
konsep permutasi ketika kalian duduk di kursi bioskop?

“Hah, makanan apa itu permutasi? Atau itu sejenis makhluk hidup?” Bukan kok, permutasi itu adalah salah satu teknik berhitung dalam pembelajaran matematika. Sebenarnya apa itu permutasi? Yuk kita belajar bersama tentang Permutasi.

Apa Itu Permutasi?

Secara etimologi, permutasi berasal dari kata kerja dalam bahasa latin permutare yang memiliki arti Change Completely atau berubah seutuhnya. Kemudian dari bahasa Latin tersebut diserap oleh Bahasa Prancis Kuno menjadi permutatio. Pada akhir abad ke-15 di Inggris berubah menjadi permutation yang memiliki arti barter/pertukaran. Pengertian dari permutation (permutasi) terus berkembang hingga menjadi pengertian yang kita pahami sekarang, yaitu :

Permutasi merupakan suatu perbuatan atau proses mengubah letak urutan benda, perubahan urutan angka-angka dan lain sebagainya. Jika dalam pembahasan linguistik, permutasi adalah perubahan deret unsur-unsur dalam kata maupun kalimat.

Secara sederhananya, permutasi adalah kemungkinan cara yang kita lakukan saat menyusun letak urutan benda, deretan angka, maupun huruf abjad dengan memperhatikan urutan yang ada. Dalam permutasi detail-detail kecil sangat diperhatikan dan setiap urutan memiliki arti berbeda. Contohnya seperti urutan duduk di kursi bioskop di atas tadi, urutan Anton, Budi, Dika, Citra, dan Endah tentunya akan berbeda dengan Endah, Citra, Budi, Dika dan Anton.

Contoh lainnya dari permutasi adalah kombinasi angka dalam pembuatan PIN—biasanya terdiri dari 6 digit angka. Walaupun disebut sebagai ‘kombinasi angka’ namun kita tidak bisa memasukkan angka sesuka kita, harus memperhatikan urutannya. Maka, PIN bisa disebut juga kombinasi tersusun. Misalkan ada sebuah smartphone yang dilindungi PIN, yaitu 458 963, tentunya smartphone baru akan terbuka jika kita memasukkan urutan yang tepat bukan? (Jika memang PIN merupakan ‘kombinasi’ angka, seharusnya bisa menerima berbagai urutan yang berbeda—misalnya 963 458 dan 584 936).

Loh, memang apa bedanya kombinasi dengan permutasi? Tentunya berbeda. Kombinasi adalah kebalikan dari permutasi, kombinasi tidak perlu memperhatikan urutan yang ada. Misalnya: “Di rumahku ada Rina, Tini, dan Siti” akan sama maknanya dengan “Di rumahku ada Tini, Siti, dan Rina”. Urutan berbeda tidak membuat perbedaan makna.

Permutasi Dengan Pengulangan Unsur

Contoh dari permutasi ini adalah kasus PIN smartphone di atas. Dalam membuat PIN kita diperbolehkan menggunakaan angka yang sama secara berulang, contohnya “455 777”.

Angka terdiri dari 10 bilangan (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9), untuk membuat PIN smartphone diperlukan 6 digit angka. Maka kemungkinan urutan angka yang dapat dibuat adalah :

10 x 10 x 10 …. (6 kali) = 106 = 1.000.000 kemungkinan

Dalam bahasa matematikanya, dapat dituliskan dengan menggunakan eksponen :

n x n x n …. n(r) = nr

Keterangan : Dimana n adalah banyaknya sesuatu yang bisa kita pilih, dan r adalah banyaknya sesuatu yang akan kita pilih.

Loading...

Permutasi Tanpa Pengulangan Unsur

Satu hal yang perlu diingat saat menghitung permutasi tanpa pengulangan adalah setelah kita memilih satu, maka saat kita memilih pada kesempatan selanjutnya, banyaknya pilihan akan berkurang. Misalkan ada 10 bola dengan angka tertulis 1-10 di masing-masing bola dalam sebuah kotak, jika kita memilih 1 bola dan tidak kita kembalikan (tanpa pengulangan), maka saat selanjutnya kita memilih lagi, hanya akan tersisa 9 bola dalam kotak. Begitu seterusnya.

Untuk menghitung seberapa banyak kemungkinan urutan cara pengambilan bola dari kotak. Kita bisa menggunakan yang disebut notasi faktorial. Dengan contoh diatas, maka notasi faktorialnya adalah :

n! = 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 5 x ….. = 3.628.800

Itu berarti jika bola dalam kotak diambil sampai habis maka akan ada 3.628.800 kemungkinan cara urutan pengambilan bola. Bagaimana jika kita hanya mengambil 3 bola atau mungkin 5 bola? Kita tidak perlu untuk mengkalikan semua angkanya, kita hanya cukup menghitung kemungkinan bola yang akan diambil, dengan cara membaginya dengan yang tidak kita ambil.

Permutasi Jika Terdapat Beberapa Unsur Yang Sama

Permutasi n unsur yang tersedia jika terdapat k unsur yang sama, m unsur yang sama, dan n unsur yang sama. Contohnya adalah berapa banyak kemungkinan kata baru yang bisa kita buat dari “Matematika”.

Cara menghitungnya sebenarnya sama saja dengan sebelumnya, namun perlu perhatian lebih khusus. Simak di bawah ini.

rumus umum permutasi
rumus umum permutasi

Maka dari hasil perhitungan di atas, diketahui bahwa banyak kata baru yang bisa dibuat dari “Matematika” adalah 151.200 kata—Contoh kata baru (4/151.200) = Mati, Tematik, Kami, Tema, …dst.

Permutasi Siklus

Jika mendengar kata siklus, apa yang terbayang? Pasti sebuah proses yang digambarkan berbentuk lingkaran yang terus berputar saling berkesinambungan. Seperti itulah permutasi siklis, ia digunakan untuk menghitung sesuatu yang disusun melingkar. Formula permutasi siklis adalah :

Psiklis = (n ‐ 1)!

Analisis Hubungan Rumus Kombinasi Dengan Permutasi

Seperti sudah disinggung diatas, kombinasi merupakan kebalikan dari permutasi. Dimana kombinasi tidak memperhatikan urutan yang ada. Sebelumnya juga muncul istilah kombinasi tersusun. Bagaimana kombinasi bisa tersusun?

Caranya dengan mengkalikan jumlah kombinasi dengan jumlah kemungkinan permutasi dari setiap kombinasi tertentu.

rumus kombinasi tersusun
rumus kombinasi tersusun

Maka, pernyataan ‘permutasi adalah kombinasi tersusun’ bisa kita anggap benar. Itulah sebabnya mengapa terkadang kita sulit membedakan antara yang mana soal permutasi dan yang mana soal kombinasi.

Kuncinya kembali lagi ke awal, ingatlah bahwa permutasi memperhatikan urutan, sedangkan kombinasi tidak. Biasakan analisa soal dengan hati-hati yaa. Semangat belajar!

Contoh Soal Latihan

Untuk menambah pemahaman kamu mengenai materi yang sudah kita pelajari, yuk coba latihan soal mandiri. Setelahnya baru akan kita bahas bersama.

  1. Seorang petugas pemasaran mempunyai 8 macam produk yang hendak ditawarkan. Namun, ia hanya mempunyai 3 tempat untuk memajang produk-produk tersebut. Banyak susunan produk saat dipajang ada ….
    1. 6
    2. 24
    3. 336
    4. 672
    5. 1690
  2. Arkan akan membuat password untuk alamat surelnya yang terdiri atas 5 huruf berbeda diikuti 2 angka berbeda. Jika huruf yang disusun berasal dari pembentuk kata pada namanya, banyak password yang dapat dibuat adalah….
    1. 1800
    2. 2160
    3. 2700
    4. 4860
    5. 5400
  3. Sekelompok pemain takraw terdiri atas 12 orang yang mempunyai kemampuan hampir sama akan mengikuti pertandingan. Mereka akan terbagi menjadi 3 regu yaitu regu A, regu B, dan regu C. Peraturan turnamen membolehkan satu regu hanya terdiri atas 3 orang pemain inti dan 1 orang pemain cadangan. Jika dari kedua belas orang tersebut sudah ditetapkan 3 orang sebagai pemain tekong (service) pada setiap regu. Banyak cara menempatkan pemain lain ke dalam regu adalah….
    1. 560 cara
    2. 1120 cara
    3. 1560 cara
    4. 1680 cara
    5. 2240 cara

Pembahasan Soal

pembahasan pemurtasi 1
pembahasan pemurtasi 2
pembahasan pemurtasi 3

Sumber Pustaka

  • Definition of permutation in English https://www.lexico.com/en/definition/permutation
  • Pengertian Permutasi Menurut KBBI https://kbbi.web.id/permutasi
  • Permutations https://www.toppr.com/guides/maths/permutations-and-combinations/permutations/
  • Easy Permutations and Combinations https://betterexplained.com/articles/easy-permutations-and-combinations/
  • Combinations and Permutations https://www.mathsisfun.com/combinatorics/combinations-permutations.html
  • Aksin, Nur, Anna Yuni Astuti dan Suparno. 2019. Detik-Detik Ujian Nasional Matematika SMA IPA TA.2019/2020. Jakarta: PT. Penerbit Intan Pariwara.

Baca juga

Loading...