Home / Matematika / persamaan kuadrat

Persamaan Kuadrat

  • 8 min read

Penulis : Miftahul firdaus islami, S.Si

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat didefinisikan sebagai suatu persamaan yang berbentuk, materi yang dipelajari setelah materi persamaan linear. Masih ingatkah kalian dengan persamaan linear? Persamaan linear merupakan suatu persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi variabelnya 1. Dalam persamaan kuadrat ini kita akan mempelajari suatu persamaan yang mempunyai pangkat tertinggi variabelnya adalah 2.

ax2 + bx + c = 0 dengan a, b, c adalah bilangan real dan a tidak sama dengan 0. Pada persamaan tersebut c merupakan koefisien x pangkat 0 atau disebut juga sebagai konstanta. Persamaan kuadrat tersebut mempunyai ciri-ciri sebagai berikut :

  • Mempunyai pangkat tertinggi variabelnya adalah 2
  • Koefisien variabel berpangkat 2 tidak sama dengan nol
  • Koefisien variabel berpangkat 1 dan berpangkat 0 dapat bernilai 0
  • koefisien variabelnya adalah bilangan real

perhatikan persamaan kuadrat berikut :

a). x2 – 2x + 1 = 0 b). x2 –1 = 0

Dapat kita lihat bahwa persamaan a) mempunyai a = 1, b = -2, c = 1 sedangkan pada persamaan b) mempunyai a = 1,b = 0,c = -1.

Menentukan Solusi Persamaan Kuadrat

Setiap persamaan kuadrat mempunyai himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian atau solusi ini juga biasanya disebut akar-akar dari persamaan kuadrat. Ada beberapa cara yang dapat digunakan untuk menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat yaitu pemfaktoran, melengkapkan kuadrat sempurna, rumus kuadrat atau biasanya disebut rumus ABC dan yang terakhir dengan cara akar kuadrat. Untuk lebih jelasnya perhatikan penjelasan berikut :

1.Pemfaktoran

Cara pemfaktoran untuk persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0

Pemfaktoran

Contoh :

  • Tentukankah akar-akar dari persamaan x2 – 2x + 1 =0

Penyelesaian :

Dengan menggunakan pemfaktoran persamaan tersebut dapat di faktorkan men

(x + p)(x + q). Untuk mencari nilai p dan q yang memenuhi. Mari kita lihat nilai b= -2 dan c = 1. cari bilangan yang jika dikali menghasilkan 1 dan jika di jumlah hasilnya -2. Bilangan yang memungkinkan adalah -1 dan -1.

Maka pemfaktoran didapat (x – 1)(x – 1) = 0.

  • Tentukanlah nilai x yang memenuhi persamaan 4x2 + 4x – 3 = 0

Penyelesaian :

Langkah ke-1. kalikan ac = 4 .–3 = -12

Langkah ke-2. Cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -12. Bilangan tersebut adalah

1 dan -12 1 dan -12

-2 dan 6 2 dan -6

-3 dan 4 3 dan -4

Langkah ke-3. Dari semua bilangan diatas cari yang jika di jumlahkan menghasilkan b=4. Bilangan yang memenuhi adalah -2 dan 6.

Langkah ke-4 masukkan bilangan tersebut ke rumus pemfaktoran sebagai

rumus Pemfaktoran

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Melengkapkan kuadrat sempurna adalah salah satu cara untuk mencari akar-akarnya dengan merubah persamaan menjadi (x – A)2 = B

Dari persamaan awal x2 + bx + c = 0.

Langkah ke-1: pindah ruaskan c menjadi x2 + bx = – c

persamaan kuadrat 1

Langkah ke-2: jumlahkan ruas kiri dan ruas kanan dengan menjadi

persamaan kuadrat 1

Langkah ke-3: ubah ruas kiri menjadi kuadrat semurna menjadi

Langkah ke-4: pindah ruas hingga mendapatkan nilai x

Contoh :

Tentukan nilai x yang memenuhi x2 – 2x – 2 =0

Penyelesaian :

persamaan kuadrat 3

3. Rumus ABC

Rumus kuadrat atau lebih sering disebut dengan rumus ABC ini adalah salah satu cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat. Rumus ini menggunakan nilai Diskriminan(D). D = b2 – 4ac.

rumus abc

Contoh :

Carilah akar-akar dari persamaan dari x2x – 5 =0

Penyelesaian :

persamaan kuadrat 4

4. Akar Kuadrat

Cara akar kuadrat ini hanya digunakan untuk persamaan dengan bentuk ax2 + c =0 dengan a tidak sama dengan 0.

akar kuadrat

Contoh :

Tentukan nilai x dari persamaan 3x2 – 8 =0

Penyelesaian :

akar kuadrat 2

Jenis Akar Persamaan Kuadrat

Setelah kita mempelajari bagaimana cara mencari akar-akar dari persamaan kuadrat, sekarang kita akan mengetahui jenis-jenis akar tersebut. Penentuan jenis akar ini berdasarkan dari nilai Diskriminan. Perhatikan tabel di bawah ini untuk mengetahui lebih lanjut jenis akar persamaan kuadrat.

Nilai Diskriminan

Jenis Akar Persamaan Kuadrat

D > 0

2 akar Real yang berbeda

D = 0

2 akar Real yang sama

D < 0

Tidak mempunyai akar Real/ mempunyai akar kompleks

Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat

Setiap akar-akar yang dihasilkan dari persamaan kuadrat dapat dioperasikan seperti dijumlahkan, dikurangkan dan dikalikan. Untuk mencari hasil operasi dari akar-akar ini tidak perlu dicari terlebih dahulu setiap akar-akar yang dimiliki. Kita bisa menggunakan koefisien yang ada pada persamaan untuk menentukan hasilnya.

jumlah dan hasil akar persamaan kuadrat

Dari rumus penjumlahan pengurangan dan perkalian diatas ada beberapa bentuk yang akan sering dimunculkan di soal seperti beberapa bentuk dibawah ini

  • x12 + x22 = (x1 + x2)2 – (2.x1.x2)
  • x13 + x23 = (x1 + x2)3 – (3.(x1.x2)( x1 + x2))
  • x12x22 = (x1 + x2) (x1 – x2 )

Menyusun Persamaan Kuadrat

Pada materi persamaan kuadrat ini akan ada kasus dimana diketahui akar-akarnya lalu kita diminta untuk membuat atau menyusun persamaan kuadratnya. Dalam kasus ini kita dapat memyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan persamaan (x + a)(x + b) = 0 dengan a dan b adalah akar-akar yang telah diketahui. Selain itu bisa juga menggunakan persamaan x2 + (a + b)x + ab = 0.

Pada kasus lain, diketahui persamaan kuadratnya lalu kita diminta untuk membuat persamaan kuadrat baru dengan akar-akar baru yang tentunya berhubungan dengan persamaan yang sudah diketahui. Kita dapat menggunakan persamaan berikut :

menyusun persamaan kuadrat

Contoh :

Diketahui sebuah persamaan kuadrat x2 + x –12= 0 mempunyai akar-akar x1 dan x2. Susunlah persamaan kuadrat baru yang mempunyai akar x1+3 dan x2+3.

Penyelesaian :

persamaan kuadrat 8

Maka persamaan kuadrat baru yang dihasilkan adalah

persamaan kuadrat 9

Berikut ini terdapat carai praktis untuk menyusun Persamaan kuadrat baru

menyusun Persamaan kuadrat

Penerapan Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diaplikasikan dalam kehidupan sehari-hari. Berikut adalah contoh aplikasinya

Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan lebarnya 1 meter lebih besar dari dua kali panjangnya. Kebun tersebut memiliki luas 3m2. Tentukanlah ukuran panjang dan lebar kebun tersebut!

Penyelesaian :

aplikasi persamaan kuadrat

L = p . l

3 = x (2x+1)

3 = 2x2 + x

0 = 2x2 + x – 3

0 = (2x +3)( x –1)

x = -3/2 atau x =1

karena panjang tidak mungkin negatif maka nilai x yang memenuhi adalah x =1.

Sehingga di dapat p = 1m dan l = 2x + 1= 2.1 +1 = 3m.

Demikian penjelasan dari materi persamaan kuadrat. Semoga bisa membantu belajar kalian. Untuk lebih memahami materi ini, mari kerjakan latihan soal dibawah ini.

Contoh Soal Latihan

  1. Carilah akar-akar dari persamaan 2x2 – 6x – 8 = 0
  2. Berapa nilai x yang memenuhi persamaan x2 – 64= 0
  3. Jika persamaan x2 + bx +16=0 mempunyai 2 akar real yang sama maka nilai b yang memenuhi adalah…
  4. Susunlah persamaan kuadrat baru yang memiliki akar berlawanan dengan akar-akar dari persamaan x2 – 3x + 4=0
  5. Dari persamaan x2 – 3x + 28=0 tentukanlah jumlah dari kuadrat akar-akarnya.
  6. Susunlah persamaan kuadrat baru yang memiliki akar berkebalikan dengan akar-akar dari persamaan 3x2 + 6x + 5=0
  7. Dari persamaan x2 – 3x – 4=0 tentukanlah hasil kali akar-akarnya

Jawaban

  1. x = 4 atau x = -1
  2. x = 8 atau x = -8
  3. b = 8
  4. x2 + 3x + 4=0
  5. x12 + x22 = (x1 + x2)2 – (2.x1.x2) = -47
  6. 5x2 + 6x + 3=0
  7. x1.x2= -4

Daftar Pustaka

  • Badruzzaman, Farid H. 2013. Pocket Book Matematika SMA. Jakarta Selatan : Kawah Media.
  • Widodo, Untung. 2017. Mandiri Matematika untuk SMA/MA kelas X kelompok Wajib Semester 2. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Baca juga :