Home / Matematika / Probabilitas

Probabilitas

  • 15 min read
Loading...

Disusun oleh: Ratna Zafira Hafidzah, Universitas Indonesia 2019

Kalian tentu pernah bermain atau mengetahui permainan monopoli. Saat melempar dadu, pernahkah kalian berpikir tentang seberapa besar kemungkinan angka yang keluar pada dadu adalah 1?

Pernahkah kalian melempar sebuah koin ke atas dan berpikir seberapa besar kemungkinan yang muncul saat koin jatuh adalah gambar atau angka pada koin tersebut?

Pengertian Konsep Probabilitas

Kemungkinan-kemungkinan ini sebenarnya dapat kita hitung dengan matematika. Kita mengenalnya sebagai probabilitas atau peluang. Probabilitas/peluang adalah nilai yang digunakan untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya sesuatu di masa depan yang hasilnya tidak pasti.

Contohnya, pada ilustrasi di atas, angka yang keluar dari lemparan dadu tidak ada yang pasti antara angka 1 sampai 6. Akan tetapi, kita bisa mengetahui seberapa besar angka 1 akan keluar, seberapa besar angka 2 akan keluar, dan seterusnya.

Untuk pengetahuan saja, tidak semua dadu memiliki probabilitas yang sama untuk keluarnya angka, lho. Dalam permainan casino, misalnya, digunakan dadu yang tidak setimbang atau

Loading...
probabilitas keluarnya angka 1 sampai 6 tidak sama. Ini adalah alasan awal ilmuwan matematika mempelajari lebih lanjut tentang probabilitas.

Untuk mendapatkan nilai probabilitas, kita akan melakukan percobaan. Percobaan, dalam hal ini, didefinisikan sebagai setiap proses yang akan menghasilkan himpunan data-data. Data-data inilah yang nantinya dapat dihitung untuk mendapatkan nilai probabilitas.

Ruang Sampel

Ruang sampel adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan yang dilakukan pada kondisi yang sama. Ruang sampel dinotasikan dengan huruf S. Anggota dari ruang sampel disebut titik sampel (titik contoh).

Perhatikan ilustrasi berikut.

Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan dadu, kita dapat memiliki dua kemungkinan ruang sampel.

probabilitas 1

Jika kita tertarik pada probabilitas angka yang muncul, maka ruang sampelnya adalah

Jika kita tertarik pada probabilitas bilangan yang muncul genap atau ganjil, maka ruang sampelnya adalah

probabilitas 2

Perlu diperhatikan bahwa secara umum, kita akan menggunakan ruang sampel dengan titik sampel yang lebih banyak.

Ruang sampel dapat ditulis juga menggunakan pernyataan. Perhatikan contoh di bawah.

probabilitas 3

Diagram Pohon

Untuk membantu kita menentukan titik-titik sampel dari ruang sampel yang lebih kompleks kita dapat menggunakan diagram pohon. Perhatikan contoh soal berikut.

(Contoh Soal 1) Seorang dosen Statistika melakukan percobaan pelemparan koin. Jika yang muncul adalah gambar, maka koin dilempar lagi. Jika yang muncul (pada pelemparan pertama) adalah angka, maka dosen tersebut akan melempar dadu bermata enam. Misalkan S adalah ruang sampel dari percobaan dosen tersebut. Tentukan titik-titik sampel dari S.

Pembahasan:

Gunakan diagram pohon seperti di bawah ini.

diagram pohon

Kejadian

Selain ruang sampel, kita juga mengenal istilah kejadian. Kejadian adalah himpunan bagian dari suatu ruang sampel. Apa itu himpunan bagian? Perhatikan contoh berikut.

Misalkan terdapat himpunan A dan B. Himpunan A disebut himpunan bagian dari B jika semua anggota himpunan A ada di dalam B.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi hubungan ruang sampel dan kejadian berikut.

probabilitas 4

Catatan: Kejadian ditulis dengan huruf besar (A,B,C, … , Z)

Permutasi dan Kombinasi

Selanjutnya, pada ruang sampel tadi, kita dapat menentukan apakah urutan kejadian yang terjadi diperhatikan atau tidak. Misal, jika kita ingin mengetahui ada berapa banyak pengaturan posisi duduk yang mungkin 6 orang di bangku taman, maka artinya kita perlu memerhatikan urutan tempat duduk setiap orang, bukan? Kondisi ini disebut sebagai permutasi.

Permutasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup dengan memerhatikan urutan.

Contohnya, {1,2,3} tidak sama dengan {2,3,1} dan {1,3,2}.

Namun, ada kalanya kita tidak perlu memerhatikan urutan kejadian yang terjadi. Kondisi ini disebut sebagai kombinasi.

Kombinasi adalah menggabungkan beberapa objek dari suatu grup tanpa memerhatikan urutan.

Contohnya, {1,2,3} adalah sama dengan {2,3,1} dan {1,3,2}.

Sekarang perhatikan ilustrasi berikut.

(Contoh Soal 2) Seorang anak melempar dua dadu sekaligus. Tentukan kombinasi dan permutasi yang terbentuk dari kedua pelemparan tersebut. (Catatan: pelemparan dilakukan pada keadaan yang sama)

Pembahasan:

Untuk memperjelas, mari kita buat tabel pelemparan dadu.

tabel pelemparan dadu

Perhatikan cell tabel yang diberi warna kuning. Kita dapat melihat bahwa cell-cell tersebut hanya terjadi sekali.

Kemudian, perhatikan cell tabel yang diberi warna hijau. Kita dapat melihat cell-cell tersebut memiliki pengulangan dengan urutan yang berbeda pada cell berwarna putih (dipisahkan oleh cell berwarna kuning.

Dari tabel ini, kita dapat mengetahui kombinasi dari pelemparan dua dadu adalah (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,4); (4,5); (4,6); (5,5); (5,6); dan (6,6)

Dan permutasi dari pelemparan dua dadu adalah (1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); (2,2); (2,3); (2,4); (2,5); (2,6); (3,1); (3,2); (3,3); (3,4); (3,5); (3,6); (4,1); (4,2); (4,3); (4,4); (4,5); (4,6); (5,1); (5,2); (5,3); (5,4); (5,5); (5,6); (6,1); (6,2); (6,3); (6,4); (6,5); dan (6,6)

Rumus Permutasi

Rumus umum dari permutasi adalah sebagai berikut.

rumus permutasi

Keterangan

n: jumlah objek yang bisa dipilih

r: jumlah objek yang harus dipilih

Rumus di atas dapat digunakan jika setiap r (objek) dianggap berbeda. Tetapi, bagaimana jika setiap objek yang berbeda dapat dikelompokkan lagi?

Misalnya, jika n1 adalah banyaknya objek pertama, n2 adalah banyaknya objek kedua, … , nk adalah banyaknya objek ke-n, maka rumus permutasinya adalah

rumus permutasi

Catatan: n1 + n2 + … + nk = n

Kemudian, jika setiap objek diatur posisinya membentuk sebuah lingkaran, maka kita akan gunakan permutasi siklis. Rumusnya adalah sebagai berikut.

Rumus Kombinasi

Pada artikel ini, kita akan membahas rumus kombinasi tanpa pengulangan. Berikut adalah rumus kombinasi.

rumus kombinasi

Keterangan

n: jumlah objek yang bisa dipilih

r: jumlah objek yang harus dipilih

Kemudian, perhatikan contoh soal berikut. Kita dapat menghitung berapa banyak kombinasi yang terbentuk dengan rumus tadi.

Misalkan kita memiliki 3 buah kelereng dengan warna hijau, biru, merah. Kelereng tersebut ada di dalam sebuah kantong dan kita boleh mengambil 2 kelereng. Tentukan berapa banyak kombinasi warna kelereng yang dapat kita ambil.

rumus kombinasi

Probabilitas Dari Suatu Kejadian

Probabilitas dari suatu kejadian A adalah penjumlahan probabilitas terjadinya setiap titik sampel (dari ruang sampel S) pada A, dinotasikan dengan P(A). Hal yang harus kalian ingat tentang probabilitas dari suatu kejadian adalah sebagai berikut.

probabilitas suatu kejadian

Secara matematis, kita dapat mendefinisikan probabilitas dari suatu kejadian A sebagai berikut.

Misalkan suatu ruang sampel S mempunyai N hasil yang mungkin (yang banyaknya berhingga) dan masing-masing mempunyai kemungkinan yang sama untuk terjadi.

Misalkan A adalah suatu kejadian di ruang sampel A yang mempunyai k hasil, maka probabilitas kejadian A terjadi adalah

Sifat-Sifat Probabilitas

1. Untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S, maka probabilitas paduan dua kejadian tersebut adalah

sifat probabilitas

2. Untuk sembarang dua kejadian A dan B yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel S berlaku

sifat probabilitas

3. Untuk setiap kejadian A dan komplemen dari A, berlaku

sifat probabilitas

4. Jika A dan B saling lepas, maka

sifat probabilitas

sifat probabilitas

5. Jika A1, A2, A3, …, An saling lepas, maka

sifat probabilitas

6. Jika A dan B saling bebas, maka

sifat probabilitas

Loading...

Contoh kejadian saling bebas adalah pelemparan sebuah koin sebanyak 2 kali. Artinya, hasil pelemparan pertama tidak memengaruhi hasil pelemparan kedua.

Loading...

Probabilitas Bersyarat

Pada sifat probabilitas di atas, kita mengetahui kejadian saling bebas. Perlu kita ketahui, dikenal juga kejadian tidak saling bebas (bersyarat). Artinya, kejadian pertama akan memengaruhi kejadian-kejadian selanjutnya. Dalam artikel ini kita hanya akan membahas probabilitas bersyarat untuk dua kejadian. Apakah probabilitas bersyarat dapat digunakan untuk lebih dari dua kejadian? Bisa, dan hal tersebut dibahas dalam materi Kaidah Bayes.

Misalkan kejadian A terjadi setelah kejadian B, maka rumusnya adalah

Random Variable ( Variable Acak )

Variabel acak adalah suatu fungsi yang memetakan setiap anggota di ruang sampel ke suatu bilangan real. Kita ambil contoh menggunakan ruang sampel dari pelemparan koin. Dalam pelemparan koin, yang muncul adalah angka atau gambar. Misalkan kita ingin mengetahui jumlah gambar yang muncul dari pelemparan koin sebanyak tiga kali, maka kita definisikan suatu variabel x sebagai berikut.

random variable

Kemudian, x ini, yang merupakan bilangan real, dapat dipetakan ke suatu fungsi f(x) yang merupakan probabilitas terjadinya x.

Perhatikan ilustrasi variabel acak di atas. Kita dapat mengetahui ruang sampel dari ketiga pelemparan koin di atas sebagai berikut.

Dari ruang sampel di atas, kita ketahui bahwa x = 0 terjadi satu kali, x = 1 terjadi tiga kali, x = 2 muncul tiga kali, dan x = 3 muncul 1 kali. Maka kita dapat buat tabel distribusi/persebaran probabilitas.

Tabel Distribusi Probabilitas

Tabel distribusi probabilitas dari pelemparan koin sebanyak tiga kali adalah sebagai berikut.

tabel probabilitas

Distribusi Probabilitas

Seringkali untuk objek yang lebih kompleks, kita tidak dapat menggunakan rumus-rumus probabilitas sederhana seperti yang sudah kita bahas sebelumnya. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan rumus-rumus distribusi probabilitas dalam mencari probabilitas yang lebih kompleks. Distribusi probabilitas dalam ilmu Statistika sangat banyak dan terus dikembangkan, tetapi yang akan kita bahas adalah distribusi yang paling dasar dan banyak digunakan, yaitu Binomial dan Normal.

Distribusi Binomial

Distribusi binomial digunakan pada variabel acak diskrit. Apa artinya? Simpelnya, distribusi binomial dapat digunakan untuk mengukur objek-objek yang dapat dinyatakan dalam bilangan bulat, misalnya, jumlah orang yang menghadiri rapat.

Distribusi binomial ini menyatakan nilai probabilitas SUKSES atau GAGAL dari suatu percobaan yang dilakukan berulang kali.

Distribusi binomial dapat digunakan jika percobaan memenuhi syarat berikut.

  1. Banyak percobaan yang dilakukan diketahui dan pasti
  2. Setiap pengulangan bersifat independen, artinya setelah melakukan satu kali percobaan, objek harus dikembalikan ke kondisi awal (dilakukan pengembalian) sebelum melakukan pengulangan selanjutnya.
  3. Probabilitas SUKSES setiap percobaan harus sama.

Rumus distribusi binomial adalah sebagai berikut.

Rumus distribusi binomial

Keterangan

n: jumlah percobaan yang dilakukan dalam kondisi yang sama

x: variabel acak yang menyatakan banyaknya SUKSES dalam n pengulangan

p: probabilitas SUKSES (0 ≤ p ≤ 1)

q: probabilitas GAGAL, sama dengan (1-p)

Nilai Harapan dan Variansi Dalam Distribusi Binomial

Untuk data yang berdistribusi binomial, kita dapat menentukan ekspektasi dan variansi data tersebut dengan rumus berikut.

Tabel Distribusi Binomial

Jika n dan x yang digunakan cukup besar, kita dapat menggunakan bantuan nilai probabilitas. Perhatikan cuplikan tabel di bawah ini.

tabel distribusi binomial

Gambar di atas adalah cuplikan tabel distribusi binomial. Jika kita perhatikan, pada bagian atas terdapat tulisan P(X ≤ x). Maksud dari tulisan ini adalah tabel di atas bersifat kumulatif sehingga kita dapat menggunakan sifat berikut untuk memudahkan kita.

Distribusi Normal

Distribusi normal digunakan pada variabel acak kontinu. Apa artinya? Simpelnya, distribusi normal dapat digunakan untuk mengukur objek-objek yang dapat dinyatakan dalam bilangan desimal. Contohnya berat biskuit dalam kaleng.

Distribusi normal memiliki ciri grafiknya berbentuk lonceng. Dalam Statistika, kita dapat mengetahui suatu data berdistribusi normal, jika:

  1. Mean = median = modus
  2. Grafik data simetris di tengah
  3. 50% nilai probabilitas lebih kecil dari mean dan 50% nilai probabilitas lebih besar dari mean.

mean median mode

Rumus probabilitas untuk distribusi normal adalah

Rumus probabilitas untuk distribusi normal

Melihat rumus di atas, pasti kalian akan berpikir rumus tersebut sangat rumit, bukan? Untuk mempermudah, kita dapat menggunakan tabel nilai probabilitas. Perhatikan cuplikan tabel distribusi normal berikut.

tabel distribusi normal

Jika kita melihat ilustrasi grafik distribusi normal pada pojok kanan atas gambar, kita dapat mengetahui cara membaca tabel ini hampir sama dengan tabel distribusi binomial. Namun, yang membedakan adalah pada tabel distribusi normal, variabel yang digunakan adalah z, bukan x sehingga kita perlu mengkonversi variabel x ke variabel z terlebih dahulu untuk dapat meggunakan tabel di atas.

Karena cara membaca tabel yang mirip dengan tabel Binomial, maka kita menggunakan sifat-sifat pada distribusi binomial. Tetapi, kita tidak dapat menggunakan sifat (i) karena variabel kontinu tidak dapat diketahui nilai bulatnya.

Demikian materi probabilitas dalam artikel ini. Selanjutnya, mari kita lihat contoh-contoh soal berikut.

Contoh Soal Latihan

1. 4 pasang suami istri membeli 8 tiket untuk posisi duduk yang sebaris dalam suatu pertunjukan konser. Berapa banyak susunan duduk mereka, jika setiap pasangan suami istri harus berdampingan?

Pembahasan

Untuk menjawab soal di atas, kita dapat membuat beberapa kotak pemisalan yang nantinya dianggap sebagai posisi duduk pasangan suami istri.

Diketahui bahwa ada 4 pasang suami istri, masing-masing pasangan terdiri atas dua orang, maka buat 4 pasang kotak.

Kemudian, kita tuliskan angka-angka berurutan seperti di atas. Maksudnya adalah pada sisi kiri, kita dapat memilih 1 dari 2 orang. Pada sisi kanan kita hanya dapat memilih 1 dari 1 orang karena 1 orang telah dipilih di kursi sisi kiri. Maka, kita dapat mengetahui bahwa untuk setiap pasang suami istri terdapat

susunan duduk. Karena terdapat 4 pasang maka ada 24 susunan duduk. Selanjutnya, karena urutan duduk per pasangan tidak ditentukan, maka akan ada sebanyak 4! susunan duduk per pasangan yang mungkin.

Sehingga kita dapatkan banyak susunan duduk pasangan suami istri jika setiap pasang duduk berdampingan adalah

probabilitas 6

2. Dalam suatu pesta, terdapat dua jenis minuman, yaitu jus jeruk dan jus jambu. Ternyata seusai pesta, beberapa tamu sakit perut. diketahui probabilitas seorang tamu yang minum jus jambu menjadi sakit perut adalah 0,7 dan probabilitas seorang tamu yang minum jus jeruk menjadi sakit perut adalah 0,5. Diketahui pula probabilitas seorang tamu minum jus jambu adalah 0,6 dan probabilitas seorang tamu minum jus jeruk adalah 0,4. Hitung berapa probabilitas seorang tamu sakit perut?

Pembahasan

O: tamu yang meminum jus jeruk

G: tamu yang meminum jus jambu

S: tamu yang sakit perut

Diketahui

probabilitas 7

Kemudian, selesaikan soal tersebut.

probabilitas 9

3. Diketahui untuk panggilan gawat sebanyak 0,1,2,3,4,5 probabilitas terjadinya berturut-turut adalah 0.05, 0.1, 0.15, 0.35, 0.2, dan sisanya. Tentukan probabilitas kurang dari 3 panggilan gawat darurat terjadi.

Pembahasan

x: banyaknya panggilan gawat darurat

Buat tabel distribusinya.

X012345
P(X=x)0.050.10.150.350.20.5

Karena variabel x adalah variabel diskrit, maka

probabilitas 10

4. Seorang pemain bisbol bisa memukul bola dengan probabilitas 0.25. Berapa probabilitas ia berhasil memukul bola dengan tepat sekali dalam 5 kesempatan?

Pembahasan

Kita gunakan distribusi binomial untuk menyelesaikan soal.

X: banyaknya pukulan tepat/berhasil

n: 5

p: 0.25

probabilitas 11

Karena x dan n relatif kecil, maka tidak perlu menggunakan tabel.

5. Sebuah mesin minuman bersoda diatur sehingga mengeluarkan rata-rata 200 ml minuman per gelas. Banyaknya minuman menyebar secara Normal dengan simpangan baku 15 ml. Tentukan probabilitas banyak gelas yang berisi lebih dari 224 ml.

Pembahasan

Pada soal telah disebutkan bahwa data ini berdistribusi Normal sehingga kita akan menyelesaikan soal dengan distribusi Normal dan tabelnya.

X: volume minuman bersoda dalam suatu gelas

μ: 200 ml

σ: 15 ml

probabilitas 14

Demikian artikel materi dan contoh soal mengenai Probabilitas. Semoga artikel ini dapat membantu teman-teman dalam mempelajari Statistika lebih dalam. Sampai jumpa!

Daftar Pustaka

  • Walpole, Ronald E. dkk. Probability & Statistics for Engineers & Scientists 9th Ed. 2012
  • Tabel Binomial: https://mat.iitm.ac.in/statistics
  • Tabel Normal: Probability & Statistics for Engineers & Scientists 9th Ed.
  • http://mathisfun.com/data/standard-normal-distribution.html
  • http://statisticshowto.com/probability-and-statistics/binomial-theorem/binomial-distribution-formula
  • http://socratic.org

Baca juga

Loading...
Loading...