Home / Matematika / Sistem Persamaan Linear Dua Variable

Sistem Persamaan Linear Dua Variable

  • 11 min read
Loading...

Disusun oleh: M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019

Suatu hari, Andy dan Bella pergi ke pasar bersama-sama. Mereka disuruh oleh orang tua masing-masing untuk membeli buah-buahan. Karena waktu yang mereka miliki tidak terlalu banyak, maka Andy dan Bella hanya sempat pergi ke tempat buah jeruk dan mangga. Dengan uang Rp65.000,-, cukup bagi Andy untuk mendapatkan 2 kg jeruk dan 3 kg mangga. Sedangkan Bella membeli 1 kg jeruk dan 2 kg mangga dengan uang Rp40.000,-.

Tanpa bertanya kepada yang bersangkutan, dapatkah kalian menentukan harga jeruk dan mangga per-kg nya? Jika kalian berniat untuk membeli setengah kg jeruk dan 4 kg mangga, berapa yang harus kalian keluarkan? Atau, jika kalian memiliki selembar uang Rp50.000,-, cukupkah uang tersebut kalian gunakan untuk membeli 2 kg jeruk dan 2 kg mangga? Jika cukup, apakah ada kembalian, dan berapa? Jika kurang, berapa ribu rupiah uang yang harus kalian tambahkan agar mencukupi kekurangannya?

Hal tersebut adalah contoh

Loading...
sederhana dari penerapan persamaan linier dua variabel. Tapi bagaimana cara kita menggunakannya? Di tingkat SMP, kalian sudah mempelajari tentang persamaan linier satu variabel, masih cukup dasar bukan? Konsep yang sama juga akan digunakan dalam persamaan linier dua variabel, dengan sedikit modifikasi dan metode tertentu.

Konsep Awal Sistem Persamaan Linear Dua Variable

Untuk mempersingkat penulisan, dalam pembahasan ini kita akan mempersingkat penyebutan sistem persamaan linier dua variabel menjadi SPLDV.

Sesuai dengan namanya, sistem ini membutuhkan dua variabel dengan derajat paling tinggi 1 (pangkat 1) atau linier. Selain itu, untuk memperoleh solusi tunggal dari SPLDV biasanya kita membutuhkan 2 persamaan linier dua variabel. Variabel yang digunakan biasanya a, b, p, q, x, y, dll. Beberapa contoh persamaan linier dua variabel antara lain sebagai berikut.

1

Adapun,

2

Bukan termasuk persamaan linier dua variabel.

Dalam pembahasan ditingkat sekolah menengah, kita membutuhkan 2 buah persamaan linier untuk menyelesaikan SPLDV tersebut. Sebagai contoh, jika kita memiliki suatu persamaan linier dua variabel,

3

Maka informasi yang kita miliki tidak cukup untuk menyelesaikan persamaan tersebut. Tetapi jika kita memiliki persamaan lain, sebagai contoh

4

Kita dapat mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Pertanyaannya adalah, bagaimana cara kita untuk menyelesaikan SPLDV tersebut, atau secara umum bagaimana cara menyelesaikan setiap SPLDV yang diberikan.

Metode Dalam Menyelesaikan SPLDV

Secara umum, ada dua cara untuk menyelesaikan SPLDV, yaitu cara substitusi dan cara eliminasi.

Cara Subtitusi

Langkah pertama dalam menyelesaikan SPLDV menggunakan metode substitusi adalah dengan mengambil salah satu persamaan yang diberikan, lalu dari persamaan tersebut kita nyatakan secara eksplisit salah satu variabel dalam bentuk variabel yang lain. Selanjutnya variabel tersebut disubstitusikan (digantikan) ke dalam persamaan yang kedua, lalu kerjakan seperti dalam persamaan linier satu variabel.

Agar tidak bingung, perhatikan contoh berikut.

Misalkan kita ingin menyelesaikan SPLDV

6

Dari persamaan yang pertama, dengan menyatakan variabel x dalam bentuk y, maka kita bisa dapatkan

7

Substitusi x ke persamaan yang kedua, maka

8

Substitusikan nilai y = 1 ke dalam x = 19 – 14y, maka kita dapatkan

9

Jadi, solusi untuk SPLDV diatas adalah x = 5, dan y = 1

Cara substitusi akan lebih mudah dikerjakan jika kita melihat salah satu variabel pada salah satu persamaan memiliki koefisien 1, sebagai contoh, pada persamaan x + 14y = 19, variabel x memiliki koefisien 1. Namun, cara substitusi bisa dilakukan untuk berapapun koefisien dari variabel SPLDV-nya.

Cara Eliminasi

Langkah pertama dalam menyelesaikan SPLDV dengan cara eliminasi adalah kita harus memilih salah satu variabel yang akan kita eliminasi atau dihilangkan. Selanjutnya, kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangan agar variabel yang ingin kita eliminasi menjadi habis, dan tersisa satu variabel yang bisa kita selesaikan

Agar tidak bingung, perhatikan ilustrasi berikut.

Masih dengan SPLDV yang sama,

10

Misalkan kita akan menghilangkan variabel y, perhatikan bahwa koefisien y pada persamaan pertama adalah 14, sedangkan pada persamaan kedua koefisiennya adalah 21. Agar variabel y dapat dihilangkan, kita harus bisa membuat koefisien y di kedua persamaan menjadi sama, yaitu dengan mengubahnya menjadi kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari 14 dan 21, yaitu 42. Agar hal yang kita inginkan tercapai, kita kalikan persamaan pertama dengan 3 dan persamaan kedua dengan dua.

11

Kemudian, substitusi nilai x = 5 ke salah satu persamaan, missal persamaan pertama, kita peroleh

14

Jadi, solusi untuk SPLDV diatas adalah x = 5, dan y = 1

Cara eliminasi nampaknya lebih ringkas dan mudah, Tetapi, cara eliminasi membutuhkan kreativitas yang lebih dalam hal menghilangkan salah satu variabel yang kita inginkan. Perhatikan bahwa kita bisa juga mengeliminasi x terlebih dahulu dengan mengalikan persamaan pertama dengan 5, dan persamaan pertama dengan 1.

Hal yang terpenting adalah, jika kita melakukan pekerjaan dengan benar, seharusnya dengan metode apapun akan menghasilkan solusi yang sama. Sebagai contoh, kita telah mengerjakan SPLDV yang sama dengan dua cara yang berbeda, namun solusi yang kita dapatkan adalah sama, yaitu x = 5 dan y = 1. Mana metode yang lebih baik dan mudah digunakan? Hal tersebut tergantung dengan kondisi SPLDV dan kreativitas kita sebagai yang mengerjakan soal.

Contoh lain,

Tentukanlah solusi dari SPLDV,

15

Dengan cara substitusi dan eliminasi.

Akan diselesaikan dengan cara substitusi terlebih dahulu. Dari persamaan pertama kita peroleh

16

Substitusi nilai x ke persamaan kedua, maka

17

Subsitusi nilai y = 3 ke dalam x, maka

18

Jadi, solusi untuk SPLDV diatas adalah x = ½ , dan y = 3

Selanjutnya, dengan cara eliminasi. Kita akan eliminasi x terlebih dahulu, dengan mengalikan persamaan pertama dengan 9, dan persamaan kedua dengan 1. Sehingga

19

Subsitusi nilai y = 3 ke dalam x, maka

20

Jadi, solusi untuk SPLDV diatas adalah x = ½ , dan y = 3

Permasalahan dalam kehidupan sehari-hari dapat diselesaikan dengan memodelkan permasalahan tersebut secara matematis, salah satunya dengan memisalkan suatu item dengan variabel-variabel yang ingin kita cari nilainya.

Hubungan Antara Koefisien Variable Dengan Penyelesaikan SPLDV

Jika kita diberikan dua buah persamaan linier dua variabel, maka kita tidak serta merta akan mendapatkan solusi yang tunggal. Selain solusi yang tunggal atau unik, suatu SPLDV juga mungkin untuk tidak memiliki solusi, ataupun memiliki tak hingga solusi (lebih dari satu solusi). Hal tersebut bisa dilihat dari keterkaitan antara koefisien-koefisien variabelnya.

Misalkan kita memiliki suatu SPLDV dengan dua persamaan seperti berikut

20

Dengan x, y sebagai variabel, a1, a2, b1, b2 adalah koefisien, c1, c2 adalah suatu konstanta dan a2, b2, serta c2 tidak sama dengan 0. Ketentuannya adalah sebagai berikut

Loading...
Loading...
  1. SPLDV memiliki solusi tunggal jika dan hanya jika
21

2. SPLDV tidak memiliki solusi jika dan hanya jika

22

3. SPLDV memiliki tak hingga banyaknya solusi jika dan hanya jika

23

Pada kasus

24

SPLDV juga memiliki takhingga banyaknya solusi, meskipun berdasarkan fakta yang kita ketahui, 0/0 = tak terdefinisi. Penjelasan lebih lanjut akan kalian dapatkan jika kalian sudah menempuh tingkat Pendidikan yang lebih tinggi.

Contoh Soal Latihan dan Pembahasan

(Soal-soal diambil dari www.mathcyber1997.com)

  1. Himpunan penyelesaian sistem persamaan
30

adalah …

Jawab:

Dengan metode eliminasi, maka kita kalikan persamaan pertama dengan 2 dan persamaan kedua dengan 3 untuk mengeliminasi variabel y.

31

Substitusi x = 13 ke persamaan kedua, kita peroleh

32

Jadi, solusi untuk SPLDV diatas adalah x = 13 dan y = –32

2. Umur Amar 2/3 kali umur Bondan. Enam tahun mendatang, jumlah umur mereka 42 tahun. Selisih umur Amar dan Bondan sekarang adalah…

Jawab:

Kita gunakan pemisalan, misalkan

a = umur Amar sekarang

b = umur Bondan sekarang

maka model matematika dari kondisi-kondisi tersebut adalah

33

Dengan mensubstitusi a = 2/3 b ke persamaan kedua, kita peroleh

34

Dengan demikian, umur Bondan adalah 18 tahun, sehingga umur Amar adalah

35

Umur Amar adalah 12 tahun, jadi selisih umur mereka adalah

36

3. Pak Dede bekerja selama 6 hari dengan 4 hari diantaranya lembur dan ia mendapat upah Rp74.000,-. Pak Asep bekerja selama 5 hari dengan 2 hari diantaranya lembur dan ia mendapat upah Rp55.000,-. Pak Dian bekerja 4 hari dan seluruhnya lembur, mereka bertiga mendapat sistem upah yang sama. Upah yang diperoleh Pak Dian adalah…

Jawab:

Akan kita bedakan untuk upah di waktu kerja biasa dan upah ketika waktu kerja lembur. Dari keterangan yang diberikan, kita bisa mengetahui bahwa Pak Dede bekerja dalam waktu normal selama 2 hari dan bekerja lembur selama 4 hari. Sedangkan Pak Asep bekerja 3 hari dalam normal dan 2 hari untuk kerja lembur.

Misalkan: m = upah kerja dengan waktu normal, n = upah kerja dengan lembur

Maka model matematis yang bisa kita buat adalah

38

Selanjutnya, kita akan mengeliminasi variabel y, dengan cara

39

Karena Pak Dian bekerja selama 4 hari dan semuanya lembur, maka upah yang didapat oleh pak Dian adalah 4n, yaitu

40

4. Suatu larutan mempunyai kadar asam 25% dan larutan lainnya mengandung 65% asam. Berapa liter larutan masing-masing yang dibutuhkan agar diperoleh 8 liter larutan baru dengan kadar asam 40%?

Jawab:

Misal volume kedua larutan tersebut adalah p dan q. Larutan dengan volume p adalah larutan yang mengandung asam 25%, artinya kadar asam pada larutan tersebut adalah 0.25p = 1/4p. Sedangkan larutan dengan volume q mengandung 65% asam, artinya kadar asam pada larutan yang kedua adalah 0.65q = 13/20q. Karena kadar asam dari larutan campuran dengan volume 8 liter adalah 40%, artinya ada 40% × 8 liter = 3.2 liter = 32/10 liter asam pada campuran tersebut.

Dengan demikian model matematis untuk kondisi diatas adalah

41

Selanjutnya, kita akan mengeliminasi variabel p dengan cara mengalikan persamaan pertama dengan 20 dan persamaan kedua dengan 5.

42

Artinya kita membutuhkan 3 liter larutan bervolume q. Sedangkan untuk larutan bervolume p,

43

Jadi, kita membutuhkan 5 liter larutan p dan 3 liter larutan q agar bisa menghasilkan larutan campuran yang diinginkan.

5. Jika solusi dari SPLDV

45

Tidak hanya (0, 0) saja, maka nilai dari a2 + 6a + 17 adalah…

Jawab.

Dari informasi yang diberikan pada soal, kita bisa menyimpulkan bahwa SPLDV memiliki takhingga banyaknya solusi. Akibatnya, pada koefisien-koefisien SPLDV berlaku hubungan sebagai berikut

46

Sehingga

47

Akibatnya

48

Jadi,

49

Daftar Pustaka

Yazid, Estien. 2012. Rumus-Rumus Esensial Matematika SMA. Yogyakarta: Penerbit ANDI

Baca juga

Loading...
Loading...