Penulis : Nur Liana Mahasiswi Biologi UI 2019
Pengertian
Persamaan linier adalah bagian dasar yang penting dalam mambangun algebra linier sebagai pembangun matematika modern. Perhitungan algoritma untuk menyelesaikan perhitungan sangat penting dalam algebra linier dan berperan penting dalam ilmu teknik, fisika, kimia, dan sains komputer serta ilmu ekonomi. Perhitungan non linier dapat berhubungan dengan persamaan-linier, dan hal ini sangat membantu pembuatan model matematika atau simulasi sistem kompleks dalam komputer.
Persamaan linier sendiri berarti persamaan yang memuat variable berpangkat satu dan membentuk garis.biasanya memuat 2 atau 3 variabel yaitu x, y untuk 2 variabel dan x, y dan z, untuk 3 variabel. Dengan demikian itu sistem persamaan linier dibagi menjadi 2 yaitu sistem persamaan linier dua variabel dan tiga variabel.
Linear vs Non Linier
Persamaan linier selalu memuat variabel dengan pangkat 1 saja, jika persamaan yang diberikan berpangkat selain 1 misalkan x2, x3
Jenis Penyelesaian Sistem Linier
Penyelesaian dalam si stem linier ada2 jenis yaitu :
Tidak ada penyelesaian
Sistem persaan tidak memiliki penyelesaian jika sestem penyelesaian dientuk oleh garis yang tidak berpotongan di salah satu ata banyak titik. Pada gambar disamping terlihat bahwa dua gari yang terbentuk adalah garis yang sejajar, sehingga ditarik sepanjang manapun dua garis ini tidak akan bertemu , sehingga tidak ada penyelesaiannya.
Satu penyelesaian atau banyak penyelesaian
Sistem persamaan linier yang memiliki satu atau lebih penyelesaian artinya garis yang terbentuk dari setiap persamaan akan berpotongan di satu atau lebih dari satu titik perpotongan yang artiya titik ini menjadi penyelesaiannya.
Persamaan linier dengan satu penyelesaian adalah persamaan yang bertemu dalam satu titik sedangkan yang memiiki banyak penyelesaian adalah sistem yang dibentuk oleh dua garis yang sama dan sama.
Istilah Dalam Sistem Persamaan Linier
Istilah dalam sistem persamaan linier ada tiga yaitu independen, equivalen dan konsisten
Independen
Persaamaan independen adalah jika antar persamaan itu tidak bukan berasal dari persamaan yang sama hanya modifikasi dikalikan faktor konstanta. Contoh
sistem persamaan diatas tidak independen, karena berbeda dari segi faktor pengali yaitu 2, persamaan ini jika digambar dalam grafik akan memiliki letak yang sama. Persamaan independen akan memuat variable dengan kondisi berbeda, contoh
Persamaann independen adalah persamaan pada umumnya yaitu
Konsistensi
Persamaan konsistensi adalah adalah persamaan yang memiliki penyelesaian, jika tidak memiliki penyelesaian maka dikatakan persamaan yang tidak konsisten. Ciri persamaan konsisten adalah jika berpotongan di satu titik.
Equivalen
Persamaan equivalen jika memiliki pasangan variable yang sama, dan merupakan persamaan yang tidak konsisten, sehingga memiliki penyelesaian an sama.
Jenis Persamaan Linier
Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)
Sistem ini memiliki persaan linier yang memuat dua variabel. Rumus umum persamaan linier dua variabel adalah ax + by = c dengan a, b dan c adalah konstanta dan a, b tidak nol (nol). Bentuk umum sistem persamaan linier dua variabel:
Sistem persamaan linier dua variabel memiliki ciri-ciri yaitu memiliki persamaan lebih dari satu, dengan tanda yang menghubungkan kedua ruas adalah sama dengan (=), setiap variabelnya berpangkat 1 dan banyak variabel adalah 2 macam. Contoh SPLDV :
Sistem Persamaan Linier Tiga Variabel (SPLTV)
Rumus umum persamaan linier tiga Variabel adalah ax + by + cz = d dengan a, b, c dan d adalah konstanta dan a, b, c tidak nol (nol). Bentuk umum sistem persaaam linier tiga variabel:
SPLTV Memiliki ciri-ciri yaitu memiliki persamaan lebih dari satu, dengan tanda yang menghubungkan kedua ruas adalah sama dengan (=), setiap variabelnya berpangkat 1 dan banyak variabel adalah 3 macam. Conroh SPLTV :
Metode Pemecahan Masalah (Substitusi, Eliminasi dan Grafik)
Untuk memahami metode penyelesaian sistem persamaan linier, mari amati contohnya sebagai berikut :
Substitusi
Metode substitusi digunakan dengan memilih variabel yang kita pilih untuk menggantikan variabel yang lainnya. Jika kita memilih mengganti x dengan variabel y, maka yang kita lakuaan adalah dengan mengubah bentuk persamaan x – 2y = 4 menjadi
x = 2y + 4
Maka dari sini kita dapat mengetahui bahwa besar y adalah :
lalu jika mengganti y dengan x lakukan hal yang serupa dengan metode diatas untuk mengetahui nilai x
Eliminasi
Metode ini dilakukan dengan cara mencari kpk dari salah dua variabel dengan tujuan dilakukannya eliminasi sehinggahanya tersisa satu variable dan angka
Maka pemecahannya adalah :
a. Memilih variabel yang akan kita hilangkan, misalkan disini kita memilih y untuk dihilangkan.
Kpk dari 2y dan 6y adalah 6y maka kita kalikan persamaan pertama dengan angka 2 dan persamaan kedua dengan angka 3, menjadi :
b. Dilanjutkan eliminasi
Dengan menggabungkan metode eliminasi dan substitusi dapat kita ketahui bahwa
penyelesaian dari dua persamaan diatas adalah x = 0 dan y = -2
Metode grafik
Metode grafik dilakukan dengan membuat nilai x= 0 dan y= 0
Langkah 1 . Carilah titik potong garis pada sumbu x dengan y= 0 dan y dengan x= 0
Setelah mendapat titik koordinatnya, gambar pada bidang koordinat, maka kita akan dapati sebuat titik potong kedua garis ini, ini yang kita sebut titik penyelesaian. Berikut gambar grafiknya :
Dan terlihat bahwa titik potongnya adalah (0, -2)
Contoh Soal dan Pembahasan
- Tentukan apakah titik (4, 3) dan titik (0, -2 ) adalah jawaban yang tepat untuk system persamaan linier berikut:
y = 2x – 5
y = 7- x
jawab:
Masukkan titik (4,3) dan (0,-2) pada kedua persamaan jika hasilnya adah benar maka titik tersebut memang penyesainnya
- artinya (4,3) adalah penyelesaian yang tepat
- Percobaan ada kedua titik hanya satu persamaan yang benar, ini menunjukkan bahwa (0, -2) bukan penyelesaian yang tepat
2. Tentukan himpunan penyelesaian SPLTV berikut ini
Jawab
Langkah- langkah penyelesaian :
a. Gunakan dua variable untuk mengeliminasi variable yang ada
Misalnya lakukanlah eliminasi untu persamaan (1) dan (2) yang hasilnya adalah 3x – z = 14
b. Ulangi langkah 1 pada pasangan persamaan lain untuk mengeliminasi variabel yang sama, sehingga diperoleh dua persamaan yang linear dua variabel
eliminasikan persamaan (1)dan(3) dengan mengalikan faktor 2 pada persamaan (1)
lakukan eliminasi dan hasilnya menjadi x – z = 6
c. selesaikan sistem persamaan linier dua variabel yang diperoleh dari langkah 1 dan 2
hasilnya 2x = 8, x = 4
D. Gunakan nilai x untuk mengetahui nilai yang lainnya dengan menggunakan sistem persaam linier dua variabel yang didapat
Maka hasilnya adalah x= 4, y=-3 dan z = -2
4. Ana, Bima dan Ciko berbelanja di toko buku. Ana membeli dua buku tulisa, sebuah pensil dan sebuah penghapus dengan memebayar Rp9.500,00. Bima membeli sebuha buku tulis, dua buah pensil dan sebuah pengahapus dan membayar Rp8.500,00. Ciko membeli tiga bah buku tulis, dua buah pensil dan sebuah penghapus dengan harga Rp.14.500,00. Berapakah harga yang harus dibayar jika Dedi ingin membeli buku, penghapus dan pensil masing-masing satu buah?
Jawab
Langkah langkah penyelesaian
Sebelum masuk ke langkah -langkah, untuk mempermudah, kita misalkan terlebih dahulu,
Buku : a ;Pensil : b ;Penghapus : c, sehingga didapat kan 3 persamaan linier berikut ini :
Lanjutkan ke langkah selanjutnya
a. Gunakan dua variabel untuk mengeliminasi variabel yang lain
Misalnya lakukanlah eliminasi untuk persamaan (2) dan (3) yang hasilnya adalah 2a = 6000
Maka a= 3000
b. Nilai a telah diketahui aka dapat digunakan untuk mengeliminasi variabel a, sehingga diperoleh dua persamaan yang linear dua variabel
Masukkan pada persamaan (1) dan (2)
c. Selesaikan sistem persamaan linier dua variabel yang diperoleh dari langkah 2
maka jika Dedi ingin membeli masing -masing satu buah benda harga yang harus dibayar adalah a + b + c
= 3.000 + 2000 + 1500 = 6.500
Daftar Pustaka
- System of Linear Equation. http://www.mathisfun.com/algebra/system-linear-equations.html. Diakses tgl 22 mei 2020
- Solving System of Linear Equations. http://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help_topics/solving-system-of-linear-equations diakses tgl 22 Mei 2020
- System of linear Equations. http://www.wikipedia.org/wiki/system_of_linear_equaions diakses tgl 22 mei 2020
- System of linear Equations. http://www.purplemath.com/modules/systlin1.htm diakses tgl 217 Mei 2002
Baca juga