Disusun oleh: M. Shiqo Filla, Matematika Universitas Indonesia 2019
Dalam statistika, selain ukuran pemusatan yang kita kenal, seperti Mean, Modus, dan Median, kita juga mengenal ukuran penyebaran. Apa perbedaan dari ukuran pemusatan dan penyebaran data? Ukuran pemusatan merupakan suatu nilai tunggal yang mampu mewakili dan menggambarkan karakteristik dari seluruh data yang tersedia, sedangkan ukuran penyebaran adalah suatu nilai yang menggambarkan seberapa jauh data-datanya menyebar jika dibandingkan dengan nilai rata-ratanya.
Ukuran penyebaran data sangat bermanfaat bagi kita untuk mengetahui seberapa divergen (menyebar) data-data yang kita kumpulkan. Berikut, kita akan membahas apa saja alat yang kita gunakan dalam mengukur penyebaran suatu kelompok data.
Simpangan Rata-Rata
Simpangan rata-rata (Mean Deviation) adalah bentuk ukuran penyebaran data yang paling sederhana diantara ukuran penyebaran data yang lain. Simpangan rata-rata digunakan untuk mencari rata-rata dari selisih setiap data dibandingkan dengan rata-rata datanya.
Simpangan rata-rata didefinisikan oleh rumus
Dimana n adalah banyaknya data, xi adalah data ke-I, dan x bar adalah rata-rata data. Sebagaimana yang kita ketahui, rata-rata untuk data tunggal adalah
Sebagai contoh jika kita ingin mengetahui simpangan rata-rata dari suatu kumpulan data:
20, 18, 19, 17, 10, 15, 27, 25, 24, 30
Terlebih dahulu kita tentukan nilai rata-rata dari kumpulan data tersebut, yaitu
Selanjutnya, kita tentukan nilai mutlak dari selisih setiap data dengan nilai rata-ratanya,
Jadi, simpangan rata-rata yang kita dapatkan dari kumpulan data diatas adalah
Artinya, kita bisa menarik kesimpulan bahwa rata-rata dari jarak setiap data dengan mean-nya adalah 4,8. Semakin kecil nilai simpangan rata-rata menunjukkan bahwa jarak atau selisih antar data tersebut kecil, dan begitupun sebaliknya. Contoh yang diberikan diatas adalah contoh untuk mencari simpangan rata-rata untuk data tunggal. Cara yang sama juga dilakukan untuk mencari simpangan rata-rata dari data berkelompok, dengan yang bertindak sebagai xi adalah titik tengah dari setiap interval. Sebagai contoh, diberikan data berkelompok dari ukuran sepatu anak-anak di suatu kelas X sebagai berikut.
| No. | Interval | Frekuensi |
| 1. | 36 – 39 | 9 |
| 2 | 39 – 42 | 15 |
| 3. | 42 – 45 | 6 |
Dengan penelitian yang lebih detail pada data tersebut, kita peroleh
Akibatnya kita peroleh.
Selanjutnya, dengan cara yang sama seperti pada data tunggal sebelumnya,
Jadi, simpangan rata-rata dari kumpulan data diatas adalah
Simpangan rata-rata dari data berkelompok diatas adalag 1,62.
Standar Deviasi
Selain simpangan rata-rata diatas, ada alat untuk menentukan ukuran penyebaran data yang lebih baik, yaitu simpangan baku, atau yang sering disebut dengan standar deviasi. Standar deviasi terbagi menjadi dua, yaitu standar deviasi untuk data berupa sampel dan data populasi (keseluruhan).
Untuk data populasi (keseluruhan), maka standar deviasi memiliki lambang σ (sigma), dengan rumus,
μ adalah sama dengan nilai dari mean populasi.
Sedangkan untuk data berupa sampel, maka standar deviasi memiliki lambang s, dengan rumus yang mirip, sebagai berikut
Dalam bentuk yang lain, rumus standar deviasi s diatas dapat dijabarkan sehingga menjadi
Penurunan rumus tersebut ditunjukkan sebagai berikut.
Terbukti bahwa dua rumus diatas adalah sama. Sebagai contoh penggunaannya, kita diberikan sebuah kasus seperti berikut. Seorang petugas UKS menimbang berat badan dari para siswanya yang terbagi menjadi dua kelas. Karena siswa yang ada terlalu banyak, maka diambil sampel masing-masing 4 siswa dari setiap kelas, sehingga total ada 8 sampel yang diambil, Data berat badan dari sampel siswa yang ditimbang adalah sebagai berikut (dalam kg)
55, 60, 57, 57, 68, 61, 54, 62
Dengan bantuan table berikut, kita peroleh
Dengan nilai n = 8, maka standar deviasi dari kumpulan data sampel tersebut adalah
Jadi, simpangan baku atau standar deviasi dari data sampel diatas adalah 4,53.
Variansi
Variansi adalah nilai tunggal yang menunjukkan keragaman suatu kelompok data. Nilai variansi dan standar deviasi berhubungan sangat erat. Jika kita mengetahui nilai standar deviasi, maka dengan mudah kita pun dapat menentukan nilai dari variansi, begitupun sebaliknya. Hal ini karena variansi adalah kuadrat dari standar deviasi. Sebaliknya, standar deviasi adalah akar kuadrat dari variansi.
Variansi dari data populasi adalah
Sedangkan variansi dari data sampel adalah
Dari contoh sebelumnya, karena kita telah mengetahui bahwa standar deviasi dari data sampel berat badan siswa adalah s = 4,53, maka variansinya adalah
Atau, agar lebih jelas, kita akan menentukan nilai variansi dari data sampel acak sebagai berikut
20, 18, 19, 17, 10, 15, 27, 25, 24, 30
Dengan bantuan table berikut, kita peroleh
Sehingga variansi dari data diatas
Jadi, nilai variansi dari data acak diatas adalah sekitar 40,28. Sekaligus, jika kita ingin mencari nilai dari simpangan baku data acak tersebut maka kita tinggal menarik akar dari nilai variansinya, yaitu
Sehingga nilai dari simpangan baku atau standar deviasi data tersebut adalah sekitar 6,35.
Daftar Pustaka
Yazid, Estien. 2012. Rumus-Rumus Esensial Matematika SMA. Yogyakarta: Penerbit ANDI
Baca juga