Suku Banyak ( Polinomial )

Penulis : Nur Liana Mahasiswi UI

Pengertian

Suku banyak adalah fungsi matematika yang terdiri atas banyak variabel koefisien dengan operasi pejumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, dan perpangkatan. Dalam polinomial kita akan mengenal istilah derajat suku dan suku.

Suku adalah jumlah suka dalam polinomial sedangkan derajad suku adalah pangkat tertinggi di polinomial tersebut . Contoh bentuk polinomial 3x² – 5x + 6, bentuk ini memiliki 3 suku dengan derajat suku banyak yaitu 2. Fungsi polinomial yaitu digunakan menghitung luas area volume geometri, serta aplikasi dalam kehidupan yaitu dapat perhitungan harga grosir di pasaran dan jarak tempuh kendaraan .

Ada syarat dikatakan bukan polinomial dan polinomial

Polinomial tidak berpangakat variabel contoh :

Polinomial dapat mengandung pecahan tetapi bukan variabel sebagai penyebutnya contoh :

Polinomial tidak dapat memuat fungsi trigonometri contoh :

Arti pangkat suku banyak

Pangkat 0 artinya fungsi konstan

Contoh f(x) = 1,5

Pangkat 1, membentuk garis linier atau garis lurus

Pangkat 2 membentuk kurva

Pangkat 3

Pangkat 4

“Pangkat tertinggi variable dalam suku banyak digunakan sebagai nama atas suku banyak itu”

Tipe Suku Banyak

Suku banyak atau polinomial tersusun atas 3 komponen yaitu monomials, binomials, dan trinomials. Monomials adalah suku banyak yang terdiri atas satu suku saja contohnya lalu binomials yang terdiri atas dua suku contohnya dan trinomials yaitu tersusun atas 3 suku, contoh . penyatuan tipe-tipe ini dapat dilakukan melalui operasi matematika penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian yang akan kita bahas selanjutnya.

Kesamaan Suku Banyak

Suku banyak p(x) dikatakan sama dengan f(x) jika kedua persamaan nya memiliki jumlah suku dan derajat yang sama serta nilai konstanta dan koefisien suku sukunya juga sama. Kesamaan dua suku banyak dapat dinotasikan sebagai p(x) = f(x)

Contoh

Algoritma Pembagian Suku Banyak

Polinomial dan Aljabar

Bentuk umum polinomial :

Keterangan :

a₀ xⁿ , a₁ x^n-1 , a₂ x^n-2 , a_n-2 x² , a_n-1 x , a_n adalah suku dari suku banyak

a₀ , a₁, a₂, a_n-2, a_n-1, a_n adalah koefisien variabel

a_n adalah suku tetap yaitu berbentuk koefisien

n pada suku pertama (a₀ xⁿ ) adalah pangkat tertinggi dari suku banyak

operasi bilangan suku banyak

Penjumlahan dan pengurangan

Penjumlahan dan pengurangan dapat dilakuan seperti biasa, pengurangan koefisien harus dengan variabel yang sama pangkatnya. Terdapat suku banyak f(x) berderajat n dan p(x) berderajat m. Suku banyak hasil operasi akan berderajat n jika maka hasil pengurangan, begitu pula dengan , maka suka banyak akan berderajat m Contoh :

Perkalian dan pembagian

Perkalan antara dua suku banyak berpangkat , hasilnya adalah suku banyak dengan menjumlahkan pangkatnya, begitu pula pembagian pangkat hasilnya yaitu dengan mengurangi pangkatnya. Contoh suku banyak berpangkat 2 dikalikan suku banyak berpangkat 3 hasilnya adalah suku banyak berpangkat 5 contoh:

Nilai suku banyak

Nilai suku banyak dapat kita ketahui dengan substitusi dan cara horner

• Substitusi

Misalkan diketahui sebuahfungsi f(x) untuk x k, maka nilai f(x) dapat kita ketahui dengan mennganti f(x) menjadi f(k) yaitu mengganti x dengan k pada fungsi suku banyak itu. Contoh :

• Cara horner

Horner adalah metode yang sangat membantu mencari nilai suku banyak dan lebih cepat. Horner berbentuk garis setengah persegi panjang yang memuat angka-angka saja. Cara memasukkan angka :

• didasarkan pada varibel yang bergantung dengan dengan koefisien tersebut
• . Pengurutan didasarkan pada variabel dengan pangkat terbesar,
• jika terdapat variabel pangkat yang tidak memiliki koefisien, tempatnya tidak boleh diisi dengan koefisien variabel pangkat dibawahnya, melainkan diisi dengan angka 0.
• Selanjutnya terdapat satu angka di luar kelompok angka yaitu pengalinya.

Untuk memahaminya perhatikan contoh dibawah ini !

Pembagian suku banyak dengan dengan bentuk ax² + bx + c

• Derajat suku banyak pada hasil bagi dan sisa pembagian

Pembagian suku banyak memiliki rumus jika terdapat suku bnayak f(x) dibagi (x-k) menghasilkan h(x) sebagai hasil bagi dan f(k) sebagai sisa pembagian,

maka f(x)= (x-k) h(x) + f(k). contoh :

Pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat ax² + bx + c yang dapat difaktorkan

Jika pembagi dapat difaktorkan dari ax² + bx + c menjadi (x₁ + p₁) (x₂ + p₂) menjadi p₁ dan p₂ maka rumus sisa S(x)= P₁.S₂ + S₁ dan rumusnya adalah f(x)= (x-k) h(x) + S(k). maka operasinya dilakukan bertahap seperti berikut :

Pembuktian :

Pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat ax² + bx + c yang tidak dapat difaktorkan

Jika pembagian dengan suku banyak yang tidak dapat difaktorkan untuk menemukan pembagi yang sederhana maka, lakukan dengan langsung menggunakan pembagi tersebut.

Contoh :

Maka kita dapat menemukan juga hasil bagi sisa nya dengan cara pada gambar diatas.

Teorema Sisa & Teorema Faktor

Teorema sisa

Teorema sisa adalah teorema “ jika suku banyak p(x) dibagi (x-a) maka sisanya adalah s = p(a), dengan a adalah akar dari (x-a). inti dari penggunaan teorema sisa adalah, kita dapat memanfaatkan variabel yang diketahui yaitu “sisa” untuk mengetahui fungsi polinomial yang masih belum lengkap. Syarat agar masalah dapat ditemukan solusinya, kita harus memiliki 2 atau lebih sisa pada soal

Untuk lebih memahami mari pelajari dengan contoh soal :

Jika suku banyak dibagi oleh (x – 4) bersisa 113, dan jika dibagi (x – 2) bersisa 23 maka nilai a dan b adalah…

Langkah 1. Jadikan pembagi sama dengan 0

langkah 2. Masukkan nilai x yang diketahui dalam persamaan p(x)

Langkah 3. Eliminasikan kedua persamaan (1) dan (2)

Maka hasilnya adalah 12a= 24, maka a=2; lalu 4a + b=5, maka b=-3

Teorema faktor

Teorema faktor adalah “jika suku banyak f(x) dibagi p(x) bersisa 0, maka p(x) adalah faktor dari f(x). ”

Jika f(x)=0 dan f(a) = 0, maka (x-a) adalah faktor f(x)

Jika f(x)=0 dan (x-a) adalah faktor f(x), maka x = a merupakan akar dari f(x)

Penjelasan dengan contoh soal:

Tunjukkan bahwa (x + 1) merupakan faktor dari suku banyak

Karena sisa nya adalah 0 maka dapat dipastikan bahwa (x + 1) adalah benar faktor dari

Contoh Soal dan Pembahasan

1. Diketahui x = 1 adalah akar dari persamaan suku banyak

.Temukan akar – akar lain dari persamaan di atas!

Penyelesaian:

Cari hasil bagi dari suku banyak dengan akar yang telah diketahui dan lanjutkan pemfaktorannya untuk mengetahui faktor lainnya.

Jadi dapat ditemukan faktor lainnya yaitu x= 3/2 dan x= 2

2. Diketahui , dan (x + 1) adlah faktor dari suku banyak tersebut. Maka tentukanlah nilai p²

Penyelesaian :

Cari hasil bagi dari suku banyak dengan akar yang telah diketahui dan temukan nilai p dengan rumus sisa= 0

• memiliki faktor (x + 2, tentukanlah nilai n

Cari hasil bagi dari suku banyak dengan akar yang telah diketahui dan temukan nilai n dengan rumus sisa= 0

Sehingga didapatkan nilai x= 24

4. Tentukanlah suku dan derajat suku dari persamaan suku banyak di bawah ini:

Jawab:

1. Memiliki 4 suku dengan derajat suku 4
2. Memiliki 3 suku dengan derajat suku 3
3. Memiliki 5 suku dengan derajat suku 5

5. Jika suku banyak dibagi oleh (x-3) bersisa 113, dan jika dibagi (x – 2) bersisa 21 maka nilai a dan b adalah…

Susunlah cara horner untuk mendapatkan persamaan linier yang memuat variabel a dan b

Eliminasikan persamaan yang telah didapatkan

Nilai a= 10 dan b= 43

Daftar Pustaka

• Polinomials : definitions and evaluation. https://www.purplemath.com/modules/polydefs.htm. Diakses tgl 28 Mei 2020
• Polinomials. https://www.briliant.org/wiki/polynomials/ diakses tgl 28 Mei 2020
• Horner’s Rule. https://www.math10.com/en/algebra/horner.html diakses tgl 31 Mei 2020

Baca juga

• Sistem persamaan linear
• Bangun ruang
• Satuan panjang