Home / Matematika / Turunan Fungsi

Turunan Fungsi

  • 14 min read

Disusun oleh : Asa Pertiwi, S1 Ilmu Aktuaria FMIPA Universitas Indonesia 2019

Pembukaan

Taukah kamu bahwa suatu fungsi dapat diturunkan?

Loh diturunkan? Memangnya bisa? Kalo bisa, apa yang diturunkan? Lalu kegunaannya apa?

Jadi, suatu fungsi dalam matematika dapat diturunkan. Fungsi yang yang akan kita bahas disini adalah fungsi aljabar dan fungsi trigonometri. Masing-masing memiliki aturan atau cara penurunan yang berbeda tetapi relatif sama. Dibutuhkan formula khusus untuk menurunkan fungsi trigonometri selain dari rumus yang sudah kita ketahui di penurunan fungsi aljabar.

Tentunya rumus-rumus yang digunakan berguna lohh dalam kehidupan sehari-hari, contohnya untuk menentukan keuntungan maksimum, menentukan biaya minimum suatu proyek, menggambar grafik suatu fungsi yang memerlukan data-data dari hasil penurunan fungsi tersebut, dan masih banyak lagi. Nantinya juga, basic dari pengetahuan tentang turunan yang kamu miliki akan sangat berguna dalam mengerjakan soal-soal integral. Jadi, konsep ini penting loh untuk kamu pahami dan pelajari.

Definisi Turunan

Pada awalnya turunan ditemukan oleh Gottfried Leibniz (1646-1716) dan Sir Isaac Newton (1643-1727). Leibniz, seorang ilmuan berkebangsaan Jerman, mendapatkan turunan dalam usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam geometri, yaitu tentang garis singgung suatu kurva. Sedangkan Newton, seorang ilmuan berkebangsaan Inggris, mendapatkan turunan dari usahanya memecahkan masalah-masalah tertentu dalam fisika, yaitu tentang kecepatan benda bergerak.

Pencarian turunan disebut diferensiasi. Jika suatu keadaan dapat dinyatakan dengan suatu fungsi, maka keadaan tersebut dapat dianalisa secara matematik dengan menggunakan turunan. Turunan fungsi f yang dinilainya pada sembarang x dapat dinyatakan sebagai berikut

definisi turunan , asalkan limit ini ada dan bukan ∞ atau – ∞.

Contoh soal :

  • turunan fungsi 1

Pembahasan :

turunan fungsi 2

Hal ini menunjukkan bahwa untuk sebuah fungsi yang merupakan konstanta, turunannya akan bernilai 0.

  • turunan fungsi 3

Pembahasan :

  • turunan fungsi 4

Pembahasan :

turunan fungsi 6

  • turunan fungsi 7

Pembahasan :

turunan fungsi 8

Notasi-Notasi Turunan

Turunan dari fungsi y = f(x) memiliki lambang f’(x) atau f’ atau y’. Terdapat notasi lain yang disebut notasi Leibniz yang diberikan oleh Leibniz, yaitu

turunan fungsi 9

Contoh soal :

turunan fungsi 10

Pembahasan :

turunan fungsi 11

Rumus Turunan ax^n

Rumus 1 :

Rumus Turunan ax^n

Contoh Soal :

Turunan ax^n

Pembahasan :

Turunan ax^n

Turunan Fungsi f(x) = U + V

Misalkan sebuah fungsi dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 2 buah fungsi yaitu fungsi U dan fungsi V atau dapat ditulis sebagai f(x) = U + V, maka turunan dari f(x) dapat dirumuskan sebagai

Rumus 2 :

rumus turunan fungsi f(x) = U + V

Contoh soal :

  • Turunan Fungsi f(x) = U + V

Pembahasan :

Turunan Fungsi f(x) = U + V

  • Turunan Fungsi f(x) = U + V

Pembahasan :
Turunan Fungsi f(x) = U + V

  • Turunan Fungsi f(x) = U + V

Pembahasan :

Turunan Fungsi f(x) = U + V

Turunan Fungsi Perkalian

Misalkan sebuah fungsi dapat dinyatakan sebagai perkalian 2 buah fungsi yaitu fungsi U dan fungsi V atau dapat ditulis sebagai f(x) = U . V, maka turunan dari f(x) dapat dirumuskan sebagai

Rumus 2 :

Turunan Fungsi Perkalian

Contoh soal :

contoh soal Turunan Fungsi Perkalian

Pembahasan :

pembahasan Turunan Fungsi Perkalian

Turunan Fungsi Pecahan

Misalkan sebuah fungsi dapat dinyatakan sebagai pembagian fungsi U terhadap fungsi V atau dapat ditulis sebagai f(x) = U / V, maka turunan dari f(x) dapat dirumuskan sebagai

Rumus 3 :

Turunan Fungsi Perkalian

Contoh soal :

Turunan Fungsi Perkalian

Pembahasan :

pembahasan Turunan Fungsi Perkalian

Turunan Fungsi Komposisi / Aturan Rantai

Misalkan sebuah fungsi g(x) dapat dinyatakan sebagai fungsi di dalam fungsi f(x) atau dapat ditulis sebagai y = f(U) dan U = g(x), maka turunan dari y dapat dirumuskan sebagai

Rumus 3 :

rumus Turunan Fungsi Perkalian

Contoh soal :

soal Turunan Fungsi Perkalian

Pembahasan :

pembahasan Turunan Fungsi Perkalian

Aplikasi Turunan dalam Fungsi Aljabar

Penerapan konsep turunan dalam fungsi aljabar dapat digunakan untuk beberapa hal diantaranya sebagai berikut

Gradien Garis Singgung Kurva

Ketika garis dan kurva saling bersinggungan, maka terdapat satu titik persekutuan yang disebut dengan titik singgung. Visualisasinya adalah sebagai berikut

Gradien Garis Singgung Kurva

Garis secan adalah garis yang dapat ditentukan gradiennya dan mendekati garis singgung. Contohnya adalah garis yang menghubungkan titik P dan Q. Gradien atau kemiringan garis secan adalah

Gradien Garis Singgung Kurva

Agar garis secan mendekati garis singgung (garis tan), maka dibuat jarak titik P ke titik Q mendekati 0. Sehingga

Contoh soal :

contoh soal Gradien Garis Singgung Kurva

Pembahasan :

Gradien Garis Singgung Kurva

Persamaan Garis Singgung

Pada garis singgung suatu kurva, kita mengetahui ada sebuah titik singgung dan kita dapat menentukan gradien garis tersebut dengan menggunakan turunan pertama dari fungsi yang disinggung. Ingat lagi rumus untuk menentukan persamaan garis yang melalui titik (a,b) dan memiliki gradien m, yaitu

Persamaan Garis Singgung

Dengan demikian, persamaan garis singgung kurva y = f(x) pada titik (x0,f(x0)) dapat kita tentukan menggunakan rumus berikut

Persamaan Garis Singgung

Contoh soal :

Kurva y bersinggungan dengan sebuah garis di titik (1,-2). Tentukan persamaan garis singgung tersebut.

Persamaan Garis Singgung

Pembahasan :

Misalkan garis g adalah garis singgung kurva y.

Persamaan Garis Singgung

Jadi, y = x – 3 adalah persamaan garis singgungnya.

Persamaan Garis Normal

Garis normal adalah garis yang tegak lurus dengan garis singgung. Karena kedua garis tersebut saling tegak lurus, kita ingat-ingat lagi rumus hasil kali gradien, yaitu jika dua buah garis saling tegak lurus, maka hasil kali kedua gradiennya adalah -1 atau

Persamaan Garis Normal

Contoh soal :

Kurva f bersinggungan dengan garis g. Tentukan persamaan garis normalnya.

kurva Persamaan Garis Normal

Pembahasan :

Persamaan Garis Normal

Jadi, x+5y-27=0 adalah persamaan garis normalnya.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Suatu fungsi yang mulus dapat dengan mudah diidentifikasi kapan fungsi tersebut naik dan turun. Contohnya adalah grafik berikut

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Jika dikaitkan dengan turunan dan garis singgung, maka grafiknya akan sebagai berikut

grafik Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Contoh soal :

contoh soal Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Pembahasan :

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Nilai-Nilai Stasioner

Apabila f’(x) = 0, dalam kondisi tertentu f(x) disebut stasioner di titik x = x0. Nilai dari f(x0) disebut nilai stasioner f(x) pada x = x0 dan titik (x0,f(x0)) disebut titik stasioner.

Contoh soal :

Nilai-Nilai Stasioner

Pembahasan :

Nilai-Nilai Stasioner

Titik Stasioner (Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum

Jenis-jenis dari titik stasioner yang sudah kita temukan dapat kita selidiki dari naik turunnya grafik fungsi seperti berikut

titik stasioner

Jika dikaitkan dengan konsep turunan, dapat disimpulkan sebagai berikut

titik stasioner

Pernyataan ini dapat dinyatakan dalam garis bilangan f’(x) sebagai berikut

Selain titik maksimum, titik minimum, dan titik belok, suatu fungsi bisa memiliki nilai maksimum atau nilai minimum. Jika ada titik maksimum atau titik minimim, maka ada nilai maksimum dan minimum. Untuk titik belok akan dibahas setelah materi penggunaan turunan kedua.

Terdapat dua jenis nilai maksimum dan nilai minimum. Yang pertama adalah nilai maksimum atau minimum lokal pada titik x = a. Maksudnya, f(x) akan bernilai maksimum atau minimum pada daerah sekitar a. Yang kedua adalah nilai maksimum atau nilai minimum global dan penjelasannya adalah sebagai berikut

Kemungkinan nilai maksimum atau minimum dari suatu fungsi dengan domain yang ditentukan diperoleh pada titik batas domain atau titik stasioner.

Contoh soal :

Pembahasan :

Untuk contoh soal mengenai nilai maksimum dan minimum global akan dibahas di tingkat universitas menggunakan uji parsial kedua.

Persoalan Maksimum dan Minimum

Aplikasi turunan dalam fungsi aljabar juga berperan dalam kasus-kasus yang sering kita jumpai di kehidupan sehari-hari. Banyak manajemen suatu perusahaan yang mencari cara untuk menemukan biaya minimum atau keuntungan maksimum, para teknisi yang mencari volume dari bangun ruang minimum dengan luas permukaan tertentu, dan masih banyak lagi.

Contoh soal :

Pembahasan :

Menggambar Grafik Fungsi Aljabar

Konsep turunan fungsi aljabar sangat berperan penting dalam teknik menggambar grafik fungsi aljabar. Dengan menggunakan turunan, kita bisa mengetahui sifat-sifat dari grafik fungsi, sehingga pekerjaan kita dalam menggambar menjadi lebih mudah. Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam menggambar grafik fungsi aljabar adalah :

  1. Interval dimana grafik fungsi naik atau turun.
  2. Titik stasioner (maksimum, minimum, dan belok) dari grafik fungsi.
  3. Titik potong grafik fungsi dengan sumbu koordinat (jika mudah ditemukan).
  4. Titik-titik lain yang dilalui oleh grafik fungsi.

Contoh soal :

Grafik Fungsi Aljabar

Pembahasan:

Grafik Fungsi Aljabar

Dengan menggunakan data-data diatas, kita dapat menggambar grafik fungsi f(x) sebagai berikut

Grafik Fungsi Aljabar

Aplikasi Turunan : Aturan L’Hospital

Konsep turunan dapat kita gunakan dalam menentukan nilai limit apabila limit tersebut memiliki bentuk tak tentu 0/0 atau ∞/∞. Proses ini dinamakan aturan L’Hospital. Penjelasannya adalah sebagai berikut

Aplikasi Turunan Aturan L’Hospital

Contoh soal :

contoh soal Aturan L’Hospital

Pembahasan :

Aturan L’Hospital

Penggunaan Turunan Kedua dalam Penyelidikan Titik Ekstrim

Suatu fungsi jika diturunkan akan menghasilkan fungsi baru yang disebut turunan pertama f(x) yang dinotasikan dengan f’(x) atau notasi Leibniz. Karena turunan pertama merupakan sebuah fungsi, maka turunan pertama tersebut dapat diturunkan lagi menjadi turunan kedua dari fungsi f(x) yang dinotasikan dengan

Turunan Kedua

Contoh soal :

Turunan Kedua

Pembahasan :

Turunan Kedua

Aplikasi turunan kedua terdapat dalam penyelidikan titik ekstrim dari grafik suatu fungsi.

Turunan Kedua

Dengan rumus ini, kita dipermudah untuk tidak perlu membuat garis bilangan f’(x) untuk menentukan titik maksimum atau minimum lokal.

Titik belok dapat diselidiki dengan turunan kedua. (a,f(a)) adalah calon titik belok apabila f’’(a)=0 atau f’’(a) tidak ada. Hal yang perlu diperhatikan untuk memastikan bahwa titik (a,f(a)) adalah titik belok, yaitu

Turunan Kedua

Turunan Kedua

Contoh soal :

  • contoh soal Turunan Kedua

Pembahasan :

Turunan Kedua

  • titik belok

Pembahasan :

Turunan Kedua

Kecepatan dan Percepatan

Saat belajar fisika, kita tahu bahwa jika sebuah benda bergerak sepanjang garis bilangan dan posisinya dinyatakan sebagai fungsi waktu s = s(t). Kecepatan benda tersebut pada saat t adalah turunan pertama dari fungsi s(t), yaitu v(t) = s’(t). Percepatannya adalah turunan kedua dari fungsi s(t), yaitu a(t) = s’’(t) atau turunan pertama dari fungsi v(t), yaitu a(t) = v’(t).

Contoh soal :

Kecepatan dan Percepatan

Pembahasan :

Kecepatan dan Percepatan

Turunan fungsi trigonometri

Dalam menentukan turunan fungsi trigonometri, terdapat 2 rumus dasar, yaitu

turunan fungsi trigonometri

Pembuktiannya adalah sebagai berikut

turunan fungsi trigonometri

Selanjutnya, rumus tersebut dikembangkan sehingga menghasilkan rumus baru, yaitu

rumus turunan fungsi trigonometri

Contoh soal :

contoh soal turunan fungsi trigonometri

Pembahasan :

turunan fungsi trigonometri

Aplikasi Turunan dalam Fungsi Trigonometri

Sama dengan fungsi aljabar, turunan fungsi trigonometri juga dapat diaplikasikan terutama dalam hal menggambar grafik fungsinya. Rumus yang digunakan juga sama, yang berbeda hanyalah pada besaran x yang pada fungsi aljabar merupakan angka saja, namum pada fungsi trigonometri besaran x merupakan besar sudut.

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Contoh soal :

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Pembahasan :

Fungsi Naik dan Fungsi Turun

Nilai-Nilai Stasioner

Contoh soal :

Nilai Stasioner

Pembahasan :

Nilai Stasioner

Titik Stasioner(Titik Maksimum, Titik Minimum, dan Titik Belok), Nilai Maksimum dan Nilai Minimum

Contoh soal :

Titik Stasioner

Pembahasan :

Titik Stasioner

Gradien Garis Singgung Kurva

Contoh soal :

Gradien Garis Singgung Kurva

Pembahasan :

Gradien Garis Singgung Kurva

Aplikasi Turunan : Aturan L’Hospital

Contoh soal :

Aturan L’Hospital

Pembahasan :

Aturan L’Hospital

Contoh Soal Latihan & Pembahasan

  1. contoh soal 1
  2. contoh soal 2 contoh soal 3
  3. contoh soal 4
  4. contoh soal 5

Daftar Pustaka

  • Nusantara, Tim Smart. Strategi Cerdas Bank Soal Matematika SMA/MA Kelas X,XI,XII. Jakarta : Grasindo, 2017.
  • Simangunsong, Wilson. Matematika Wajib Kelas XI SMA/MA. Jakarta : Gematama, 2016.
  • Simangunsong, Wilson. Matematika Peminatan Kelas XII SMA/MA. Jakarta : Gematama, 2016.
  • Varberg D., Purcel Edwin J., dan Rigdon Steven E.. Calculus. Ed Ke-9. Jakarta : Erlangga, 2010.

Baca juga