Home / Matematika / Vektor Matematika

Vektor Matematika

  • 11 min read

Penulis : Miftahul firdaus islami, S.Si

Pengertian Vektor Pada Matematika

Kalian pasti sudah tidak asing dengan kata vektor pada matematika. Ya, kalian akan menemukan materi vektor juga saat kalian belajar fisika. Pada dasarnya konsep vektor di kedua bidang ini sama. Pada matematika kalian akan mempelajadi perhitungan, sifat, dan operasi vektor secara matematis.

Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai dan arah atau dapat juga didefiniskan sebagai himpunan garis berarah yang mempunyai panjang dan arah. Karena mempunyai arah, maka vektor digambarkan sebagai garis yang mempunyai titik pangkal dan titik ujung. Ada beberapa cara penamaan vektor, perhatikan gambar dibawah ini

 vektor 5 vektor 4

Sebuah vektor dapat ditulis vektor 6 . garis diatas huruf tersebutlah yang menunjukkan bahwa itu sebuah vektor. Vektor yang mempunyai arah kebalikan akan dilambangkan dengan negatif seperti 2 vektor diatas.

a. Cara penulisan Vektor

Ada beberapa cara penulisan vektor. Misalkan A (a, b, c) maka vektor posisi vektor 7 yaitu vektor yang mempunyai pangkal (0, 0, 0) dan titik ujungnya A dapat dituliskan sebagai vektor kolom yaitu  vektor 8=vektor 9, vektor baris atau pasangan berurut yaitu  vektor 10 = (a, b, c), dapat juga ditulis vektor 11 = ai + bj + ck.

Tidak semua vektor mempunyai pangkal (0, 0, 0). Jika sebuah vektor mempunyai pangkal vektor 12 dan ujung vektor 13 maka vektor posisi vektor 14.

b. Panjang vektor dan vektor satuan

Setiap vektor mempunyai panjang. Dalam penggambarannya panjang ruas garis yang menggambarkan vektor juga mewakili panjang sebuah vektor tersebut. Panjang suatu  

vektor = vektor 15 = vektor 16adalah vektor 17.

setelah kita mengetahui bagaimana cara mencari panjang suatu vektor, kita dapat menggunakannya untuk mencari vektor satuan dengan rumusvektor 1

Baca tulisan lain dari bacaboy:

c. Penjumlahan dan pengurangan vektor

vektor 18 Penjumlahan dan pengurangan antara dua vektorvektor 19 = a1i + a2j + a3k dan vektor 2= b1i + b2j + b3k dapat didefinisikan sebagai berikut

vektor 20 = (a1+b1)i + (a2+b2)j + (a3+ b3)k

= (a1 b1)i + (a2b2)j + (a3 b3)k

Penulisan penjumlahan dan pengurangan dua vektor juga dapat menggunakan bentuk vektor kolom seperti dibawah ini.

vektor 21

Contoh soal :

Diketahui vektor vektor 22= 2i + 3j + k dan vektor 2= 3i – 2j. Maka tentukan hasil dari penjumlahan dan pengurangan dari dua vektor tersebut.

Penyelesaian :

vektor 23

Selain dengan menggunakan perhitungan, kita juga bisa menjumlahkan vektor dengan menggunakan gambar vektornya menggunakan beberapa aturan berikut :

Aturan Segitiga

        E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\aturan segitiga.JPG

Pada Aturan segitiga, penjumlahan vektor bisa digambarkan seperti gambar disamping. Gambar tersebut menunjukkan vektorvektor 25ditambah vektor 26 , hasilnya adalah vektor 27 penjumlahan ini bisa dituliskan vektor 28+ vektor 29= vektor 30

Aturan Jajar Genjang

  Aturan Jajar Genjang

Pada aturan jajar genjang disamping mengambarkan jumlah dua vektor

vektor 31 + vektor 32= vektor 33

Aturan Poligon

Aturan poligon ini berlaku intuk penjumlahan 3 buah vektor atau lebih. Hasil dari penjumlahan menggunakan aturan ini dapat dilihat dari titik pangkal yang ada pada vektor pertama dan titik ujung pada vektor terakhir. Perhatikan contoh penjumlahan berikut ini

vektor 34

Aturan Pengurangan

Aturan pengurangan digunakan untuk menjumlahkan vektor yang memiliki arah yang berbeda.

vektor 34

d. Perkalian Vektor dengan Skalar

Suatu vektor bisa dikalikan dengan suatu skalar atau suatu konstanta seperti berikut

vektor 34

Terdapat beberapa sifat dalam perkalian vektor dengan skalar, yaitu :

vektor 35

e. Perbandingan vektor

 Jika dua vektor E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\AA.JPGdan E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\BB.JPG berada dalam satu garis lalu terdapat satu vektor yang membagi garis tersebut.

Membagi di dalam

membagi didalam

Jika membagi didalam, maka akan berada diantara E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\AA.JPGdan E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\BB.JPGdengan perbandingan rasio . Maka kita dapat mencari vektor dengan rumus dibawah ini:

Contoh soal :

Diketahui titik A(3,1,-4) dan B(3,-4,6). Titik P membagi AB sehingga AP : PB = 3 : 2. Maka vektor P adalah…

Penyelesaian :

Membagi di luar

membagi diluar

Jika membagi diluar, maka akan berada diluar E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\AA.JPGdan E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\BB.JPGdengan perbandingan rasio . Maka kita dapat mencari vektor dengan rumus dibawah ini:

Contoh soal :

Diketahui titik A(-1,5,2) dan B(5,-4,17). Titik P membagi AB sehingga AP : BP = 2 : 1. Maka vektor P adalah…

Penyelesaian :

Dari perbandingan rasio AP : BP = 2 : 1 dapat ditulis ulang menjadi AP : PB = 2 : -1. Maka P membagi AB diluar.sehingga :

vektor 33

f. Perkalian dua vektor dan sudut antara 2 vektor

Setelah kita mempelajari penjumlahan dan pengurangan pada vektor serta perkalian vektor dengan skalar, sekarang kita akan belajar perkalian dua vektor. Misal diketahui:

maka hasil kali kedua vektor tersebut adalah

vektor 34

Dengan menggunakan perkalian dua vektor tersebut, selanjutnya kita bisa mencari nilai kosinus dari sudut antara 2 vektor tersebut, dari nilai kosinus itu pula kita bisa mengetahui besar sudut yang terbentuk. Kita bisa menggunakan rumus dibawah ini

    Contoh :

Apabila E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\a.JPGdan E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\b.JPGmembentuk sudut 60o dengan maka

Penyelesaian :

vektor 36

Ada beberapa keadaan yang terjadi saat dua vektor membentuk suatu sudut.

  1. Dua vektor saling sejajar : Dua vektor dikatakan saling sejajar Jika terdapat dua vektor yang mempunyai arah yang sama maka sudut yang di bentuk adalah 0o.

2. Dua vektor saling tegak lurus : Jika terdapat dua vektor yang posisinya saling tegak lurus maka sudut yang terbentuk adalah 90o.

3. Dua vektor berlawanan arah : Jika terdapat dua vektor yang saling berlawanan arah maka sudut yang terbentuk adalah 180o.

Tanda hasil kali dua vektor dapat ditentukan oleh besar sudut yang terbentuk diantara kedua vektor tersebut. Jika sudut yang terbentuk kurang dari 90o maka tanda hasil kalinya adalah positif.

Jika sudut yang terbentuk adalah lebih dari 90o dan kurang dari 180o maka tanda hasil kalinya adalah negatif. Ini dikarenakan sudutnya berada di kuadran 2. Sehingga nilai cos yang dihasilkan adalah negatif. Hal ini akan mempengaruhi hasil kali dua vektor tersebut.

g. Proyeksi ortogonal vektor

Proyeksi orthogonal adalah suatu gambaran proyeksi dari suatu vektor pada vektor lainnya. Hasil dari proyeksi ini adalah vektor yang tegak lurus dengan vektor lainya. Ada 2 jenis proyeksi vektor yang akan kita pelajari yaitu :

 Proyeksi Skalar orthogonal vektor E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\a.JPGpadaE:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\b.JPG

 vektor 41

 jika proyeksi skalar orthogonal vektor E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\b.JPGpadaE:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\a.JPG

vektor 40

Proyeksi skalar orthogonal juga biasa disebut dengan panjang proyeksi vektor. Hasil dari proyeksi skalar adalah skalar yang nilainya tidak mungkin negatif. Untuk lebih memahami lagi perhatikan contoh soal berikut:

Tentukan proyeksi skalar orthogonal dari vektor

Penyelesaian :

vektor 39

Proyeksi Vektor orthogonal vektor E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\a.JPGpadaE:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\b.JPG

 Jika proyeksi skalar orthogonal vektor E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\b.JPGpada E:\FOTO\Artikel\Vektor\image vektor\a.JPG

vektor 38

Hasil dari proyeksi vektor orthogonal adalah sebuah vektor.

Contoh soal :

Tentukan proyeksi vektor orthogonal dari vektor

vektor 37

Penyelesaian :

vektor 36

Demikian penjelasan mengenai Vektor dalam matematika. Semoga bisa memudahkan kalian untuk belajar di sekolah.

Daftar Pustaka

  • Badruzzaman, Farid H. 2013. Pocket Book Matematika SMA. Jakarta Selatan : Kawah Media.
  • Noormandiri, B. K. 2016. Matematika untuk SMA/MA kelas X kelompok Peminatan. Jakarta : Penerbit Erlangga.

Baca juga: